例谈目标函数新视角

石卫东1 王  媛2  
（邹平第一中学，山东  滨州  256200）
摘  要：线性规划内容是近几年来高考的热点问题，几乎每份高考试题都有相关的试题，经过几年的考查，其试题难度已从简单的求线性目标函数的最值到求非线性目标函数的最值，现在更是出现于代数中的向量、解析几何、函数相结合的新题型，下面举例说明。
关键词：目标函数；新视角；高考热点
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：
例1、已知点 的坐标满足 设 ，则 （ 为坐标原点）的最大值为       .
解析：作点 所在平面区域如右图，由数量积定义得
 ，
当点 为直线 和直线 的交点 时， 有最大值5.
变式  求 的最大值呢？
解析： ， 当点 为直线
和 的交点 时，  有最大值，即
  .    
评析：本题目标函数与平面向量有关，通过对向量数量积的定义将其转化
为线性目标函数；变式题目直接转化成所成角余弦值的最大值.
例2、已知 ，求 的最大值为        ，最小值为       .
解析：由约束条件作出可行域，点 为可行域中任意一点，将目标函数变形为 ，此方程表示焦点在 轴上具有相同离心率 的一组椭圆， 越大椭圆最大， 越小椭圆越小，结合图像可得，当椭圆过点 时， 有最大值 ；当椭圆与线段 相切时， 取最小值;由 ，消去 可得 ，令 ，解得 ，此时 ；  又 ，即切点在线段 上，所以 .
评析：本题目标函数 ,将目标变形的一系列椭圆，根据目标函数的几何意义在可行域内找到最优解的最值问题.
例3、已知不等式组 ，则 的取值范围为      .
解析：不等式组表示的平面区域如右图所示,将目标函数变形为 ，令 ，设点 为可行域中任意一点，坐标原点 ， 表示直线 的斜率，由右图知 ，令 ，显然 在 上单调递增，则 .
点评：本题目标函数 ，将目标函数变形得到关于新变量t的函数，而t又是大家熟悉的“斜率”型目标函数.
例4、在平面直角坐标系中，不等式 ，则 的最小值为     .
解析：不等式组表示的平面区域如右图所示,将目标函数 变形为 ，当二次函数 与可行域的边界 相切时目标函数有最小值，联立方程  ，消去 得 ， ，即 ，则 的最小值为 .
评析 这里目标函数为直线型： ，即 为抛物线线在y轴上的截距，当截距 取最大值时，z也取最大值；当 取最小值时，z也取最小值.
总之，线性规划问题解题的关键是要弄清楚目标函数 的几何意义，利用数形结合的数学思想来解决问题.在学习中应多加强数学思想方法的训练，养成自觉运用运动变化的观点解决问题，不断提高综合运用能力.