函数性质的定义法的分类解析

接  彦

（建湖高级中学，江苏  盐城  224700）

摘  要：函数性质主要包括单调性、奇偶性、周期性等基本性质.主要考察函数性质的直接应用以及各种性质的综合应用。

关键词：单调性；奇偶性；周期性

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

从近几年高考试题看，函数的性质一直是高考命题的热点.函数性质主要包括单调性、奇偶性、周期性等基本性质.主要考察函数性质的直接应用以及各种性质的综合应用.依据对近几年高考趋势的分析，对函数性质的考察仍将是2014年高考的重点.

一、函数的单调性

函数的单调性是函数最重要的性质，它涉及用单调性的定义判断或证明函数在指定区间上的单调性；利用单调性比较大小，求函数的值域或最值、求参数的值或范围；利用单调性解（或证明）不等式、解方程、识别函数图像等.

例1、证明函数 在（-1， ）上是减函数.

证明：设

     则

     ’

    所以 在（-1， ）上是减函数.

点评：证明函数在某个区间上是增函数或减函数，用定义证明是基本的方法，基本步骤是：设值、作差、变形、判断正负、得出结论.

【变式训练1】讨论函数

答案：

二、函数的奇偶性

    函数的奇偶性是函数对称性问题中最重要的性质.函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与单调性不同，它体现的是函数的“整体”性质.判断或证明函数的奇偶性方法主要是定义法和图像法.

例2、判断函数 的奇偶性.

解：函数f(x)的定义域为

.

点评：奇、偶函数的定义是判断函数或讨论函数的奇偶性的依据，有定义知，函数

     是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.

【变式训练2】判断函数 的奇偶性。

答案：函数f(x)是奇函数.

三、函数的周期性.

     函数的周期性往往与抽象函数联系在一起，充分理解与运用相关的抽象式是解题的关键，而抽象问题又常常需要和某些具体函数进行类比，通过类比猜想出函数性质， 并加以证明.

例3、设 是定义在R上的奇函数，其图像关于直线x=2对称.证明：是周期函数。

证明：由 的图像关于直线x=2对称，得f(2+x)=f(2-x),即f(-x)=f(4+x).

又 是定义在R上的奇函数，即有f(-x)=-f(x),

则 .

由周期函数的定义可知8是它的一个周期.

故 是周期函数.

点评：抽象函数的周期性在近几年的高考试题中时常出现，对它的考察常涉及单调性、奇偶性以及代数推理.常用的方法有赋值法、配凑法、借助模型函数分析法.如何创造性的使用对应法则和函数的性质是解决此类问题的关键.

【变式训练3】已知定义在R上的函数f(x)满足

则

答案：-1