浅谈中学数论教学

陆冬阳

（宿迁中学，江苏  宿迁  223800）

摘  要：本文给出了中学数论教学的培养体系、教材选用、如何备课及激发学生思维的意见

关键词：数论；中学教学；培养体系

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、培养体系

数学竞赛中出现的数论问题，常利用极少的知识，生出无穷的变化，千姿百态，灵活

多样。很多学生在遇到数论问题时感觉无从下手，甚至直接放弃，导致这种状况最根本原因是我们在讲授数论时没有考虑学生的认知规律，很多中学在高中时才开始讲授数论，而且起点非常高，直接按照专业的竞赛书籍讲授，先简单讲授公式，然后讲授习题，学生难以接受，不符合学生的认知规律。笔者认为一些重点的完中可以在初中阶段开始讲授简单的数论知识，让学生体会到数论的思想和方法，到高中再按照专业的竞赛书籍讲授，学生学习效果会大大提高。对于其他不具备条件的高中也一定要按照从易到难，由浅入深的顺序进行讲授，切莫因急功近利而导致教学效果事倍功半。

二、教材选用

现成的竞赛书籍中难题较多，如果完全按照书本讲授，即影响教学效果，也不利于教师的专业成长，建议教师能够多涉猎各种有关数论的书籍，然后按照学生的认知水平编写讲义进行上课，初期教材建议选用《什么是数学》，该书作为科普读物，对数论基本的整除同余讲解深入浅出，通俗易懂，例如对费马定理的证明讲解如下：“为了证明费马定理，我们设如下 的倍数： .这些整数中任意两个都不能模 同余，否则存在某一对整数 ，满足 使得 成为 的一个因子,由于 ，且 不是 的因子，故这些整数中任意两个都不能模 同余.同样地，这些整数中没有一个能被 整除，因此数 ，必须相应地同余于数1，2，3，…, .故   .记 ,则 因为 的因子中没有可以被 整除的，所以 不能被被 整除，故 必须被 整除，即 .这就是费马定理的证明过程.”此段讲解虽不如竞赛书籍“专业”，但通俗易懂，初学学生容易接受.

此本书数论章节讲解完毕后，学生对整数的整除、同余运算及各种运算性质有了初步的了解，我们就可以按照一些专业的竞赛书籍进行讲授。目前市面上对数论按初、高中分册编写的教材只有华东师大版的《数学奥林匹克小丛书》，初中卷作者为冯志刚老师，高中卷作者为余红兵教授，建议高一阶段的数论教学可以以这两本书为蓝本编写讲义，高二阶段的教材建议选用湖南师大版的《奥林匹克数学中的数论问题》和浙大版的《初等数论》，另外上海科技教育出版社的《奥赛命题人讲座-数论》建议老师可作为提高自身专业水平的用途认真钻研。

三、备课做个“有心人”，有自己的独立思考.

请大家看这道例题

例1.设 为大于2 的正整数，证明：存在一个质数 ，满足 .

资料提供答案为：设 ，且 ， ，…， 是所有不超过 的质数，考虑数 ，在n>2时，n<q<n!，又易知 的质因子 不等于 中的任何一个.而 是所有不超过 的质数，因此 ，所以 ．命题得证．

本题所提供的答案，简介明了，其中 的构造是数论经典的思想方法，但答案中划线

部分我们是否要问一下“为什么呢”？在此，笔者起初阅读答案时，觉得这是一个“显然成立的”命题，但仔细思考又想不出所以然，所以开始查阅相关资料，才发现这是一个数论中很经典的问题，然后再向学生讲述时，对划线部分单独设问，并构造如下习题，并整理出两种解法与大家探讨。

例2.求证：所有不超过 的质数的乘积大于 .

证法1  (1）假设 是质数且 ，那么小于或等于 的质数包含 和 .则 .

(2)假设 是合数，那么 ，由于 是分解为两个因子，那

么我们假定 为质数， 为质数或合数.因为 ，所以 .若 ，则存在一质数 ,且 （切比雪夫定理），此时小于或等于 的质数的乘积至少为 ，所以 .同理若 ，则存在一质数 ,且 ，此时小于或等于 的质数的乘积至少为 ，所以 .综上所述，该命题成立.

证法2  所有质数从小到大排列为 ，假设 ，显然 质因子不为 中的任何一个.所以 ，则

，所以 ，命题得证.

通过例2可以反思，如果教师在教学时缺乏独立思考，就错过了一个经典问题，而且教师可以教育学生“尽信书不如无书”，要善于独立思考.

四、注重培养学生的创新思维意识.

激发学生的创新思维，需要我们的教师对题目的理解要站在很高的高度，从不同角度思考问题，引导思维起点创新；注重解题通法，但不拘泥通法，做到一题多解，强化思维过程创新；加强知识间的联系，促进思维概括创新；抓住本质特征，实现思维迁移创新；通过尝试错误，展示思维过程，培养思维求异创新；

   例3.求证：有无穷多个正整数满足 .

证法一（归纳法）经观察当 时符合题意，引导学生猜想 都符合题意。事实上， 时结论显然成立。假设对 ，已成立 ，即 ,故 。这说明 也符合要求。从而由归纳原理知猜想正确。即存在无穷多个正整数 满足： 。

证法二（构造法）经观察， 。

由此引导学生提出新问题：“若 ，令 ，则 ”是否成立？

通过探讨得出证明：若 ，由于 ，则 ，又 是奇数，于是 必是奇数。所以 ，此时显然有 ，即 。利用结论“若 令 ，则 ”。重新给 赋值 ，由此可递推地给出无穷多个符合要求的数 1,3,9,513，…。

注意到，上面两种证法得出的 值不完全相同，但它有一个共同的特点：（除1外）都是3的倍数。而这一点并非偶然，于是可引导学生通过观察比较、提出并证明以下新的问题：“设 ， ”。

   综上所述，笔者认为，鉴于数论在竞赛以及自主招生考试中的重要性，需要相关教师在教学中一定要按照学生的认知规律，认真备课，钻研教材，切忌完全模仿教材给出的答案上课，要有自己独到的理解和解题方法，并依此影响学生，促进学生的创新思维，进而在竞赛及自主招生考试中取得优异的成绩。

参考文献：

[1]R-柯郎,H-罗宾.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社,2012.

[2]冯志刚.数学奥林匹克小丛书-整除与同余[M].上海:华东师范大学出版社,2010.

[3]王丹华,杨海文.初等数论教学中思维创新意识的培养[J].井冈山学院学报(自然科学),2009,(8):105-108.