配凑思想在高中数学解题中的应用

  姚  毅

（震泽中学，江苏  苏州  215200）

摘  要：配凑是一种主动构建，自主创新的过程，是高中数学解题实践中的一盏“航灯”，也是化归的基本手段。

关键词：配凑思想；高中数学；解题应用

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

常见的配凑有如下类型：

一、“角”的配凑

角的配凑是三角函数中的一种常用技巧，实则为“化异求同”的数学思想。

例1 计算

分析：首先“切割化弦”，在配凑角。

注：通过变 ，达到“减少角”的目的。

例2 证明 。

 注：通过配凑“生成”目标角。

二、“迭代式”的配凑。

通过配凑常常可以构造“结构相似，下标递降”的迭代式，从而优化迭代过程。常用方法有待定系数法、函数的不动点以及换元法等等。

（一）函数迭代式的配凑

例3 若函数 ，求 的解析式。

分析：可以直接迭代，但过程繁杂冗长，容易出错。由 知函数  

    。

注：(1) ；

        (2) 。

例4 已知对任意实数 ，函数 都有定义，且 。如果 ，求证 是无限集。

分析：配凑出满足集A的属性是解题的关键。

， ，

所以 ,同理 故 是无限集。

（二）数列迭代式的配凑

例5 在数列 中，设 为常数，且 ，求数列的通项。

分析：可用待定系数法配凑“结构相似、下标递降”的新迭代式。

设 ，

由待定系数法可得 ，

。

例6 若数列 满足 ，求通项 。

分析：分式型的递归数列可考虑用函数的不动点配凑出“结构相似、下标递降”的新迭代式。

由函数 的不动点为 可构造迭代式 。可得 。

例7

分析：对于二阶递归数列可以用特征方程求得通项，但过程复杂，而且不符合出题本意，由交叉相乘可配凑出“结构相似、下标递降”的新迭代式。

可得 ，由 ，两式左右两边对应相乘可得：

例8 在数列 中， ，求 的通项公式。

分析：该类分式型的递归数列常利用“正切的倍角公式”配凑出“结构相似、下标递降”的新迭代式。

由 得

设 ，则 所以 且 。

故 ，所以 ， 。

三、“结构”的配凑

“结构”的配凑是不等式放缩的常用技巧，是一种逐步调整的过程，是培养“实事求是”的辨证思维的基地，让学生在实践中不断感悟能解决问题的结构就是好结构的思想方法，是解题实践中的一盏“航灯”。在历年的高考与竞赛中屡见不鲜。

例9 已知函数 都是定义在区间 上的增函数，且恒正，并设函数 。则函数在 上为_________（增函数，减函数，常数函数或以上均不对）。

分析：用单调函数的定义求解，在判定差式的符号的关键是配凑。

，则

。故为增函数。

反思：若除去条件“恒正”呢？（答案应为以上均不对）。在利用此结论时应注意到这一点。

例10 当 分别为两个等差数列 的前n项的和，且对任意自然数n都有 则 。

分析：此题可利用等差中项公式配凑成等差数列的求和公式。

.

反思：若改成求 呢？显然上述解法失效。注意到等差数列的求和公式为缺常数项的二次式即 ，故可设 ， ，进而得到对应的通项公式得解。

例11 设 ，求 的最小值。

分析：本题可用三角换元、均值定理求证，但利用柯西不等式的结构特征更可简化过程。

由于 ，所以 ，即 。当且仅当 时等号成立，即 时取等号。故 。

例12 已知 ,求证： 。

分析：该题左边为一轮换对称式，可用排序原理求证，但重新齐

次化后巧用柯西不等式的结构特征及均值定理可简化过程。

      。

注：（1）例11、例12均用到柯西不等式。

       （2）柯西不等式的最简形式：

当且仅当 时取等号。

例13 已知函数 满足下列条件：对任意的实数 都有 和 ，其中 是大于0的常数。设实数 满足 和 。

（1）    证明 ，并且不存在 ，使得 ；

（2）    证明 ；

（3）    证明 。

证明：(1)若 ，则 为任意实数，若 ，则 ，设 ，由(1)有 ，显然可得 ，故命题成立。

（2）由题意知 ， ，于是可得 ，所以有

(3)由题意得

。

注：该题可谓考查配凑思想的典范，要注意（2）（3）的联系与本质区别，在证（3）时若沿袭（2）的思路，则陷入绝境！本题也可先证（3）再证（2），命题（3）为（2）的较强命题。

结构决定功能，配凑实为生成“好结构”的途径！