在数学教学中渗透民主文化——探讨“关于直线对称的圆的方程的求法”

刘淑芳

（银川市实验中学，宁夏  银川  750001）

摘  要：在教学实践中，会出现一些情况与备课时所做的设想有差异。比如，提出问题之后，学生参与的状态比教师的预设更加丰富、更加积极。那么此时教师可以选择把时间教给学生，让大家畅所欲言，发表自己的想法，展现自己的个性，在分享与交流中，分析、反思自己的思路，内化到自己的知识体系中；也可以就题论题，完成教学课标。

关键词：数学教学；民主文化；对称；直线；圆

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

在完成必修 《圆与圆的位置关系》学习后,为了便于下一节课探讨“圆关于直线对称的圆的方程”的题型,我给大家留了一道作业题，让大家回去思考,第二天来向同学们介绍自己的解题思路。作业题为

求与圆 关于直线 对称的圆 的方程。

第二天上课时，我计划由一个同学介绍他的解题思路后，我来总结常规的方法，然后就继续其它的练习。可出乎我意料的是同学们很积极，找到了多种方法，并且都想把自己的思路介绍给大家。看了看当时的状况，想了想课程改革本身培植的是一种体现创新精神、与时俱进的民主的新文化。能够在教学中真正做到赏识学生的尝试、激励学生成长、相信学生的能力、尊重学生的选择，倾听每一个同学的声音，建立新的教学规范和秩序也是有价值尝试的。由此一想，我索性把这节课交给同学们，让他们主宰课堂，共享他们的解题思路。

以下是由同学们提供的几种解题思路：

方法 （常规法）　

解　如图1，设所求圆心为 ，直线 的斜率为 ，点 是线段 的中点，由已知 ， ，

则

即

得

由于所求圆 与圆 关于直线 对称，即 ，所以所求圆的方程为

方法 （公式法）

解　由已学轴对称公式，将点 代入点 关于直线 对称的点的公式为

下同方法1。

方法 （图象法）

解　如图2，分别过点 和点 做 轴与 轴的垂线交于点 与 ,由已知点 和点 都在直线 上，即

下同方法1。

方法 （距离法）

解　由已知圆 和圆 关于直线 对称，即点 与 到直线 的距离相等，则

即

又 在第四象限即 ，得

下同方法1。

方法 （中点法）

解　直线 的方程为 （点斜式），设线段 的中点为 ，由已知点 为直线 和直线 的交点（见图 ），则

即

且 为线段 的中点，由中点坐标公式

得

下同方法1。

方法 （线段法）

解　如图3，过点 做 轴的垂线与过点 做 轴的垂线交于点 ，则 ， ，且 在直线 上，

则

又 在第四象限即 ，所以

下同方法1。

方法 （向量法）

解　如图4，在直线 上找到 ，连接线段 、 、 ，由已知 且 ，得

且 在第四象限，得

下同方法1。

最后，我们一起分析了方法1（常规法），并且我建议大家针对这类题首先要理解常规法。

    如果这节课只是按照我备课的计划进行，可能晚上准备好第二天上台来介绍自己解题方法的同学会被压抑而没心情继续听课。然而为学生创设一个民主、自由的课堂氛围，能使他们感受到尊重和自信，敢于发表自己的见解，提出自己的观点。在学习过程中能够自觉地、全身心地投入到自己的思路之中，用心思考，真诚交流，在和谐诚恳的交流中充分展示着自己的个性和才能，主动的参与到学习活动中来正是这次“随机应变”的最大收获。
    正是这样的“临时改变”使得教学有了更好的效果，反而提高了教学质量。这样不仅用自己的创新精神去调动了学生，并充分运用激励的手段，使评价具有及时性和发展性，推动了学生积极地参与创新过程、体验创新的乐趣，这正是课程目标希望真正达到的程度。为此，在课堂教学中，我们应当积极创设机会，让学生体验到成功，使学生通过自己与自己的比较，发现自己、发展自己，促进教育教学的新发展。