“圆的标准方程”教学片段及教学反思

田彦军  

（运河高等师范学校，江苏  邳州  221300）

摘  要：本文通过“圆的标准方程”这节课，让学生归纳、总结出研究曲线方程的方法和步骤，为以后学生研究其它曲线方程打下坚实的基础。

关键词：方程；标准；归纳；方法

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

数学学习不仅包含对知识的理解和应用的层次，还应该加强分析、综合、创造的能力的高层次的培养。从而使学生不仅“学会”知识，而且能够“会学”知识。所以，教师要紧紧围绕这一宗旨进行课堂教学设计，充分发挥学生的主观能动性，培养学生发现问题、解决问题、总结问题的能力。

一、教材分析和学情分析

“圆的标准方程”是在学习了直线的方程之后，学习的第一种曲线的标准方程。也是在初中学习圆的基础上，利用代数的方法对圆进一步的刻画和再认识。同时本节课研究圆的标准方程的方法，也为后续学习椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、抛物线的标准方程提供了研究的方法。本节课授课的对象为五年制高等师范学校的二年级的学生，数学基础相对的薄弱，所以在教学设计时尽可能本着低起点高要求的原则，让学生在自主探究的基础上一步步发现得出圆的标准方程，并总结出求曲线方程的一般方法。因此，本节课的教学目标确定为：1、理解圆的标准方程及其推导过程，会根据圆的方程写出圆的半径和圆心坐标，让学生会根据条件求椭圆的标准方程；2、让学生通过探求圆的标准方程，学会探求其他曲线的标准方程的方法和步骤；3、培养学生自主探究的能力和数形结合的思想。

二、教学片断和教学反思

片段1  复习旧知，导入新课

T: 同学们，前面我们已经学习了哪几种直线的方程？

S：（异口同声）点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

其实，在我们的生活中不仅有直线，还有很多的曲线。这节课我们就来研究的圆的标准方程。（板书课题）初中我们已经学习过了圆的定义了，那么，你能说出什么是圆吗？

S：到一个定点的距离等于定长的点的集合。

T：很好！但是前面还要加上三个字“在平面内”。下面请同学在草稿纸上画出一个圆（同时请两位同学利用一根线和一支粉笔到黑板画椭圆，让学生体会圆的定义中定点和定长），并用集合语言表示圆。

反思  复习旧知，可以使学生对知识进一步的巩固和深化，保证知识的系统性和完整性，为新课的学习奠定基础,这也正是教材的编写意图。对比苏教版和人教版的教材可以发现它们都是利用生活中圆拱桥为例引入新课，进而推导圆的标准方程，这样处理可以激发学生的兴趣，但是在数字处理上有些困难，对于师范学校的学生来说有些难度，如果处理不好反而到不到预想的效果，所以五年制高等师范教材在教材的编写上进行了改进。

片段2  积极探索，得出新知

学生建立坐标系的方法可以归纳为以下三种方法：（1）以圆心为坐标原点，建立坐标系。（2）以圆内任意一点（圆心除外）为坐标原点，建立坐标系。（3）以圆的水平切线为 轴，以过切点垂直于切线的直线为 轴建立坐标系。

经过讨论决定选择第二位同学建立坐标系的方法，并且设圆上任意一点 的坐标为 ，圆心 的坐标为 ，利用两点间距离公式将等式 转化成方程 。最后，将方程的两边同时平方，把方程形式化的简单一点。

T：很好！这就是我们今天研究的圆的标准方程。如果按照第一位同学的方法建立坐标系，那么方程将是什么样的？

S： （学生口答）。

T：非常好！这个方程我们称为圆的标准方程的特例。最后让学生观察圆的标准方程，找出方程的特点。

反思  圆的标准方程的推导是比较简单的，学生很容易理解，但是要在这样的一个过程中，让学生归纳、总结出求曲线的方程的一般方法:建系设点、找等式、列方程、化简方程，为后续学习其它曲线的标准方程打下坚实的基础。当然，在此过程中还要让学生体会到坐标系不同，得到的圆的方程也不一样。

片段3  直接应用，内化新知

圆的标准方程给出后，为了使学生对方程有更进一步的认识，老师出示两种类型的题目：（1）根据圆的方程写出圆心坐标和半径；（2）根据已知条件求圆的标准方程。

反思  学生说圆心坐标和半径时容易出错，原因在于他们并没有真正发现圆的标准方程的特点。所以，在圆的标准方程给出后让学生找方程的特点，他们会觉得这么简单的方程还要找什么特点。事实上，如果你对方程的特点不了解，那么在解题的过程中是很容易出现错误的。当然通过这样两道题目学生对方程的特点会更清晰，记忆会更深刻。同时也让学生体会到：求圆的标准方程只要求出圆心坐标和半径即可。

片段4  灵活应用，深化认识

题型一、求过三点 圆的标准方程.

反思  教师不仅要教给学生知识，更重要的是培养学生良好的思维习惯，培养学生分析问题、解决问题的能力。很多的解题方法不是教师直接给出，而是让学生自己归纳、总结解决此类问题的方法。当然，本题既可以利用待定系数法，又可以利用几何法解决，所以它充分体现解析几何中数形结合的思想。

题型二、长为 （ 是正的常数）的线段 的两端点 分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段 中点 的轨迹方程。

反思  本道题目是让学生进一步体会求曲线方程的方法，深化认识。学生已经知道了建立不同的坐标系得到的方程不同，但是本题学生最容易想到的建立坐标系的方法是以两条垂直的直线分别作为 轴和 轴。在找等式的过程中不同的学生可能找到的等式不一样，但是最后的方程都是一样的。新课标要求不仅要让学生学会知识，而且要让学生学会解决问题的方法。

三、结束语

 数学课堂效率的高低，不是体现在给学生讲了多少知识，更不是体现在让学生做了多少题目，而是让学生体会、归纳、总结出解决一类问题的方法，让学生利用这种方法去研究新的问题，培养学生的创新思维和创造能力，学生才能保持发展的持久性。