刍议高中数学学生解题错误的诊断及对策

骆毅

（厦门市杏南中学，福建  厦门  361022）

摘  要：本文针对学生在高中数学学习中解题时出现的错误，运用教育学心理学的观点，结合数学学科自身特点，试图对学生错误背后的成因，如何进行准确有效科学的诊断作出系统的阐述，并对诊断后结果提出相应的对策。

关键词：解题错误；诊断；对策

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、问题的提出

高中数学的学习常常会陷入一种困境：投入了大量的时间，有些问题还是屡做屡错，数学水平始终在原地打转。这时候，学生心里是很苦闷的，他非常期待老师能针对自己的学习问题进行有效的诊断。就如同病人期待医生对自己的疾病，准确诊断出病因，进而对症下药。从另一个角度，作为教师从学生的错误中，能够准确地诊断出学生的学习问题及其原因，这样在教学中才能有的放矢，采取有效的措施，及时疏导和补救，才能真正做到有效教学。

作为一位高中数学教师，对学生解题的错误要进行系统的分析是非常必要的。首先，教师可以通过错误来发现学生的不足，从而采取相应的补救措施；其次，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识过程中存在的问题；再次，错误对于学生来说也是不可避免的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试产生的暂时性结果。

二、对于“错误”与“诊断”的科学解读

从教育学、心理学的角度来看，任何的学习过程，由于学生受到生理、心理特征以及认知水平的限制，错误是不可避免的。对于错误的原因，如果在本质上得不到准确的诊断，那么错误还是错误，并不会对下次的成功起到帮助。

行为主义学说认为，学习是一种刺激和反应的联结。受行为主义的影响，数学教学历来有强调“熟能生巧”的传统。而要达到“熟”的水平，没有训练是不行的。于是，众多教师在教学中，就大搞“题海战术”，从而通过熟练的操作提高速度和准确性。反复的机械式操练往往造成了“会做”的假象，它会掩盖学生没有从根本上理解掌握其操作的本质。

根据思维的信息加工理论，知识是以组块的形式保存在头脑中的。我们老师在平时教学中，喜欢将问题及其解法归结为若干类型，建立一些比较固定的模式去套用解决，然后反复练习，靠大运动量训练来加深印象。这种做法至多只是强化了知识与问题之间的联系，而放弃了另外两方面的训练，所以会出现学生解题时会出现差错。

根据建构主义的观点，数学的学习是一个活的、动态的过程，学生在数学学习活动的过程中通过亲身的经验去体会、组织、构造并提取活动的数学意义。学生之所以会发生错误，主要原因并不在于他们没有记住定义和公式，而主要是他们的建构活动发生了一些偏差。要分析他们的错误，就需深入到他们的建构过程中去探查。因个人的基础和数学方法不同，所以需要做个别化的诊断，分别找出原因，深入到学生的解题过程中，顺学生的经验和思路，采用有针对性的、适宜的策略，给予纠正。

在诊断学生在数学学习中的错误或是寻找防止和消除错误的对策时，必须结合考虑一系列的心理学规律，探查其中的心理机制，探明根源，从而揭示错误的实质并解释出现这种或那种错误的原因，转变教师头脑中原有的对错误原因的不当或肤浅的分析。

三、学生解题错误的诊断实例与方法

    基于上述的教育学、心理学的观点，结合笔者多年的搜集与总结，高中生在数学学习中出现的常见错误，大致可以分为三个层次：第一层次，基础性与操作性的错误；第二层次，联系性思路的错误；第三层次，数学思想支持性的错误。这三个层次的错误，基本可以诊断大多数高中生在高中数学解题中出现的常见错误。当然，这三个层次的错误，并不是孤立存在的。学生在解题中出现的错误，都有可能是三个层次的错误渗透交织的结合体。而每个层次本身也有丰富的内涵，每个错误的出现都有一个主导的关键因素。下面，笔者将分层次结合实例，对学生在解题中出现的错误做个诊断。

第一层次，基础性与操作性的错误。

这个层次的错误是学生最常犯错误，它包括计算出错（如解方程、指数运算、对数运算、不等式计算、三角计算等出错），记忆出错（如公式、概念、性质、定理、特殊值等再现时出错），审题出错（如数字、符号、式子、文字等看错），理解出错（如题意、概念、图形、表达式等理解出错）。

案例1 已知集合 ， ，求 .

错解：由方程组 解得 ，故

诊断：此题错误的主要原因是对集合 所表达的含义的理解出错,根本上是集合符号解读不到位导致错误，属第一层次的错误。本题集合 所表达的含义所表达的含义分别是二次函数 ， 的值域，即集合 ， ，故 .

第二层次，联系性思路的错误。

联系型思路的错误指的是，学习者本身的知识与问题之间的联系出现了偏差，以至于学习者无法运用正确的思路解决问题。这个层次的错误，主要包含两个方面：一是条件使用的错误。具体表现有，条件用错（如漏用、错用、增用等）；已知条件用不上；隐含条件未发掘等。二是关系构建中出错。具体表现有，关系理不出，缺乏思路，不会主动构造暂缺的部件或形态；三是思维定势导致解题错误。这个层次的错误一般都很致命，因为它出现在解大型解答题中，往往是“一着错满盘皆输”，在考试中呈现出“会而不对”失分的悲剧。

案例2 求证：当 时， .

错证： ，故原不等式成立.

诊断：上述忽略了均值不等式成立的条件，即均值不等式的左边两项要求都要为正的。显然，是定理使用时错用了条件，属第二层次的错误。事实上，只须注意到同号，则 便可证明。

案例3 已知函数 求过点 的曲线的切线方程。

错解：因为 ，所以 ，从而 .

故过点 的曲线的切线方程为 ，即 .

诊断：此题的错误，显然是将“求以点 为切点的曲线的切线方程”的解法负迁移到本题的“求过点 的曲线的切线方程”上来。这是思维定势导致的解题错误，属第二层次的错误。事实上，根据曲线切线的定义，曲线的切线与曲线的交点个数未必为1。一般地，若点P为曲线的切点，则过点P的切线是一条；若点P不为曲线上的切点时，则过点P的切线可能一条或多条。

第三层次，缺乏数学思想支持的错误。

数学思想方法是数学的灵魂与精髓，是学生获取知识的手段，是联系各项知识的纽带，是知识转化为能力的桥梁，它比知识更具有普通适用性和抽象概括性。学生掌握了数学思想方法就能更快捷地获取知识，更透彻地理解知识，并能终身受益。相反，学生如果缺乏充足的数学思想的支持，那么在学习中就难免出现错误。

中学数学涉及到的思想方法大致可分为三种类型：技巧型（如特殊、一般、消元、换元、降次等）、逻辑型（如类比、归纳、分析、综合、演绎、反证法等）、宏观型（如函数与方程、分类讨论、数形结合、归纳猜想、数学模型等）。

案例4 (2012·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)

A．2－             B．0            C．－1          D．－1－

错解：⑴

，故选D.

诊断：不难看出，此题的错误就因为机械地认为y＝2sin的在[0,9]的最值就在0和9处取得。从表面上看，错解中的错误是由于思维定势，粗心所致。实际上，如果继续挖掘问题的本质，我们是不是应该意识到学生解决函数问题时，不能主动运用图像求解，缺乏“数形结合的思想”，进而反思我们的教学是不是“数形结合思想”这种常用数学思想方法还没有在学生的大脑里牢固树立起来。

     案例5 已知函数

      （Ⅰ）若函数 在区间 上恒为单调函数，求实数 的取值范围；

（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

错解：（Ⅰ）略. （Ⅱ）构造函数 .注意到 ，所求问题转化为： 对任意的 恒成立.即， 在 上为增函数 在 恒成立

在 恒成立

在 恒成立

在 为增函数

令 ，则 在 恒成立,即

，故实数 的取值范围为 .

诊断：学生的错解的最终结果与正确答案完全一致。而且解答思路简洁明了，似乎无懈可击。因此，这样的解答在评卷中很容易被误判为正确的。但仔细分析，不难发现其中的破绽，由“ 对任意的 恒成立”，直接推出“ 在 上为增函数”，这样的推理显然不一定成立。

当 时，

因为 ，当 时，

，即此时， 是减函数，于是 ，

与题设不符，舍去。综上， .

事实上，学生在作出“ 在 上为增函数”的判断时是盲目的。错解的核心就在于，学生在对函数单调性判断之前，缺乏了解函数图像的主动意识，也就是缺乏主动运用数形结合的数学思想解题的意识。还有另一种可能，或许学生也对 求导了，

但面对 结合 ，作出“ 在 上为增函数”的判断。这种错误本质上，对 参数 的漠视，更深层的问题是没有树立运用分类讨论、函数的数学思想解题的意识。

四、教学诊断后的 “治疗”对策

学生的错误是一种可遇而不可求的教学资源。对学生的错误诊断之后，教师要做的不只是一味地纠错、改错，而是应该深入了解学生的真实思维活动，对照我们的教学，反思教学中不足。同时，教师要把数学诊断所得中的错误做一个精细的梳理，针对每个错误环节背后的原因，逐一地对症下药，这样才能是教学更加有针对性更加有效。

（一）对策一：课前准备学生可能出现的错误，防范于未然

预防错误的发生，是减少高中学生解题错误的关键。备课时，教师根据平时积累的素材，可以预见到学生学习本节内容可能产生的错误。如果能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，那么就能有效地预防错误的产生。事实上，很多第一层次的基础性与操作性错误，可以通过这种策略得到很好的防控。

例如，在讲排列数时，要预见到学生会把排列与排列数混淆在一起，所以在授课时一定要强调两者的关系及区别。

有时候，可以有意安排“陷阱”让学生犯错。例如，在讲向量数量积时，提出命题

“ ”让学生判断，很多学生会误以为正确，然后再举反例说明向量的数量积是不满足消去律的。

如果学生出现错误没有被察觉或被察觉但不及时给予纠正，那么不仅影响此时的学习，还会影响到以后的学习。因此，预见错误为揭示错误、杜绝错误打下基础。

（二）对策二：课内讲解精确到位，不让错误有滋生的土壤

课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于易混淆的概念，要引导学生用类比的方法，弄清它们的联系和区别。对于定理要让学生弄清它的条件和结论、它的用途和适用范围。

例如，在讲数列这一章时，上完了等比数列以后，可以通过列表的形式，将等差数列与等比数列进行全方位的对比，找出等比数列比等差数列在各方面的联系与区别。那么，可以在一定程度上避免将来解题中出现第二层次联系性错误。

又如，在讲解析几何的直线与圆时，有这样的题目：已知圆 和一定点 ，求过点A的圆的切线方程。这时，如果只是一味讲类型题通解通法，即直线与圆的问题通常是通过“圆心到直线的距离等于半径”这个知识点解决，那么当题目把定点改为