常见高中数学思想方法例谈

王云冰
（扬中新坝中学，江苏  镇江  212211）  
摘  要：数学思想来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。数学思想方法是数学教学的核心，是数学素养的重要内容之一，学生只有掌握了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，培养数学思维。所以在平时的教学中，应注重数学思想方法的渗透。
关键词：高中数学；思想方法；输血思维
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：
一、分类讨论思想方法
例1    已知 ，函数 ，试解关于 的不等式
[分析]  当 时，函数 是关于 的一次函数， 即 ，
为关于 一次不等式，解得
当 时，函数 是关于 的二次函数，  即 ，为关于 二次不等式，继续对 讨论
若 时，不等式化为 ，解得
若 时，不等式化为 ，解得
[小结]   分类讨论要做到“不重不漏”，考虑问题要周到缜密，对相关知识点涉及的概念、定理、结论成立的条件要牢固把握，这样才能在解题时思路清晰，才知道何时必须经行分类讨论，而何时无需讨论，从而可以知道怎样讨论。
例2   设等比数列 的公比为 ，前 项和 ，求 的取值范围。
[分析]   为等比数列，且前 项和 ，
         ,且
        当 时， ；
        当 时，  ，即
       上式等价于 或     所以 或
        综上
[小结]   在应用等比数列前 项和的公式时，要注意公式分为 和 两种情况，本题正是分类讨论中运用定义、概念和性质是分类给出的体现，注意条件是否满足，要逐个验证，分类讨论。
二、转化与化归思想方法
例3    已知 ，函数 ，若对于 ，不等式 恒成立，试求实数 的取值范围。
[分析]   对于 ，不等式 恒成立，
可化为 ，对于 恒成立，
所以 ，解得
[小结]   本题利用主元与参变量的关系，视参变量 为主元（即变量与主元的角色换位），将关于 的不等式转化为关于 的不等式，从而将问题化为熟悉的，简单的问题，是典型的转化与化归思想方法。
例4    设数列 中 ，试求通项公式
[分析]   用 代替 ，把数列递推关系进行变形，化为熟悉的问题来解决。
      令 ，则
        代入递推关系得 ，即
           
              
       令    则 ，
故 ，
故
[小结]     本题采用换元的方法，把关于数列 的递推式化为数列 递推式，再构造数列 ，求出 的通项公式，从而求出 ，利用构造法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决，是转化与化归思想方法的运用
三、函数与方程思想方法
例5    方程 有解，求实数 的范围。
[分析]   先分离参数 ，再构造函数 ，
即 ，方程有解即为 在 的值域范围内，
令 ，则
              
[小结]   本题是一个方程问题，但通过分离参数 就把方程问题转化为函数问题，接着又运用换元法把三角函数问题转化为二次函数问题，问题变得越来越简单。
例6    设等差数列 的前 项的和为 ，已知 ，
        （1）求公差 的取值范围；（2）指出 中哪一个值最大？并说明理由
[分析]   （1）由 ，得到 ，所以
           
           解得
        （2）
     故 为关于 的二次式，又因为 ，所以 有最大值，由（1）可知 ，所以 ，故正整数 时， 取最大，所以 最大。
[小结]   数列的通项公式及前 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数的思想方法来解决问题。也可以用方程的思想，设出未知的量，建立等量关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。本题还可以寻求 ，即由 可知 ，由 得 ， 得 ，所以 中， 最大。由此可见，利用函数与方程的思想方法来解决问题，要求灵活运用，巧妙结合，发展学生的思维品质。
四、数形结合思想方法
例7   解不等式
[分析]   原不等式等价于 ，
在同一直角坐标系内画出 和 的图像，
通过方程组 可求得 ，
结合图形可知，当 时，函数 图像在函数 的图像下方，
故原不等式的解集为
[小结]   数形结合是将数学语言与直观图形结合起来，从而化抽象为直观，化难为易，本题先通过等价变型，转化为两个可简单初等函数，再通过图像直观地得到结果，避开分类讨论，方法简单。
例8   已知直线 与圆 （其圆心为 ）交于 两点，若 ,求实数 的值。
[分析]  如图，由 ，得 ，所以圆心 的坐标为 ,点到直线 的距离为 ，
 ，解得
[小结]  若用向量来处理条件 ，则计算量比较大，但结合图形，利用圆的性质，则可以轻易解答，可见在处理圆以及解析几何问题时，利用数形结合思想方法可以简化繁琐计算，开阔解题思路。
五、特殊与一般的思想方法
例9    设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，求 值
[分析]   对 ， 成等差数列，
所以，当 时， 成等差数列，即 得
 ，即
      ，又
 
[小结]   用特殊值 代替题设中的 得到特殊结论 成等差数列，从而将问题简化，求出结论。所以当已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊值、特殊位置、或者一种特殊情况求出这个定值，这是特殊与一般的思想方法，可以简化推理，论证的过程。
例10 定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个周期。若将方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 的值可能为       
A    0        B   1          C  3         D  5
[分析]   根据题意，选择符合条件的基本初等函数， ，周期 ，则问题化为正弦函数 在 上根的个数，由图可知，
[小结]    当遇到某些一般问题很难解决时，可以考虑符合条件的特殊情况，如特殊位置（中点），把抽象函数具体化（如本题），取特殊值代入，找极限情况考虑，往往打开思路，找到解题的方法，这也是特殊与一般思想方法的体现。
从上面给所举的例子来看，数学思想方法贯穿于我们整个高中阶段知识点，同时，在解决某一题时，往往不是单纯一个思想方法的运用，而是几个思想方法的综合运用，所以，平时在教学和学习过程，要注重思想方法的运用，常常会找到解题思路，找到解决问题的更简洁的方法，培养数学创新能力。