2013江苏高考题19(2）解题方法之我见

夏建跃
（淮安市楚州中学，江苏  淮安  223299）
摘  要：今年江苏卷19题考的是数列题，题目已知的是数列 的通项与数列 的和式之间的关系，第一题是一个常规题，大部分同学可以准确的下笔，利用 成等比数列，可以解出数列 的基本量首项为 与公差为 之间的关系，从而求解。下面我想向大家介绍的是第二问的几种解法。
关键词：高考题；解题方法；数列
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

19．（本小题满分16分）
设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和．记 ，
 ，其中 为实数．
（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ）；
（2）若 是等差数列，证明： ．
因为已知的是 是等差数列，所以应从数列 入手，而由题目 已知给出的是数列 的通项与数列 的和式之间的关系，所以可以利用数列 的基本量，首项 与公差 ，求出和式 代入 ，从而可以用数列 的基本量，首项 与公差 表示出 ，具体解法如下：
 ，
 
 ．     (※)
若 是等差数列，则 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
经检验，当 时 是等差数列．
这种解法是利用等差数列的通项是 型，经讨论只能有c=0。
第二种解法是 ，
化简成关于n的一元三次方程： ，
令n分别=1,2,3,4，得到关于a,d,p,q,c的方程组，根据 推出 ，检验；
第三种解法是由 ，分别令n=1,n=2,n=3得 ，因为 是等差数列，有 ，即：
  ，
可以化简解得 ……………………..(1)
因为c有两组解，则可以再取n=2,n=3,n=4得 ，因为 是等差数列，有 ，即： ，
可以化简得c=0或 …………………………….(2)
由（1），（2）两式得c=0或者 = （无解）
所以c=0,再代入 检验，符合。
第四种解法是根据等差数列的定义可设 ，即
 
 
第五种解法是根据等差数列的定义可设 ，即
 ，整理得
 令n分别=1,2,3,4，得到关于a,d,p,q,c的方程组，根据 推出 ，检验；