浅析高考数学试题中圆锥曲线的复习

汪洪军

（滨海县五汛中学，江苏  盐城  224500）

摘  要：圆锥曲线一直是高考数学试题中的重要考点，同时也是难点。在高考即将来临前，对于如何高效的复习圆锥曲线是很多考生都在烦恼的问题。本文从圆锥曲线高考的几大知识要点、椭圆、抛物线和双曲线的基本知识和对高考数学试题进行分析三方面进行阐述。

关键词：高考数学试题；圆锥曲线；复习

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

从这几年高考关于圆锥曲线的试题分析，越来越偏向对基础知识的考查。解圆锥曲线的相关题目，需要掌握其规律性，并且该类题目的难点在于运算过程很复杂，对学生的运算能力、数形结合以及其他各种数学知识的综合运用能力要求较高。因此，很多学生在学习圆锥曲线这个知识点时感觉很吃力。在高考即将来临前，对于如何高效的复习圆锥曲线是很多考生都在烦恼的问题。本文对高考数学试题中圆锥曲线的复习的探讨很有必要。

一、圆锥曲线高考的几大知识要点

解析几何是高考数学的重要考点之一，其将初等数学和高等数学相衔接，而圆锥曲线又是解析几何的重要部分，因此，圆锥曲线成为高考需考查的重点之一^[1]。圆锥曲线的两大重要特征就是方程和曲线，结合了代数和几何两部分。抛物线、椭圆和双曲线是高中所学圆锥曲线知识的三大类型^[2]。因此，在复习复习圆锥曲线时需做到以下几点：

第一，重视圆锥曲线定义的理解和数形结合的运用；

第二，注重运算练习，提高运算能力；

第三，要熟练掌握待定系数法求球线方程以及从方程中研究曲线的性质；

第四，学会将函数思想、方程思想和数形结合思想三种思想进行归纳提炼^[3]。

二、椭圆、抛物线和双曲线的基本知识

例：如果某曲线在平面直角坐标系中，曲线上的一点和二元方程的f(x,y)=0的关系如下：（1）方程的解是这个曲线上的点的坐标；

（2）方程的解的坐标都在曲线上，即该方程叫曲线的方程，该曲线叫方程的曲线。

分析：该例题讨论的是点和曲线的关系。若f(x,y)=0,则点P₁(x₁,y₁)在曲线C上,即f(x₁,y₁)=0;点P₁(x₁,y₁)不在曲线C上时则f(x₁,y₁)≠0.方程有多少不同的解，则两条曲线的交点就不同。

2.1圆的定义

（1）圆的标准方程：圆心是坐标原点，半径为r:  x² + y²=r²

          圆心是c(a, b)，半径是r:( x - a )²+(y-b)²=r²

(2)圆的一般方程：当d²+a²-4b>0时， x²+y²+dx+ay+c=0是圆的一般方程。

2.2圆锥曲线简述

圆锥曲线中：当0<e<1时，轨迹是椭圆；当e=1时，轨迹是抛物线；当e>1时，迹是双曲线^[4]。

圆锥曲线方程如下表：

表1.圆锥曲线方程

三、对高考数学试题进行分析

例1．已知椭圆C的中心是坐标原点,椭圆C上的点到焦点距离最小值为1，最大值为3,焦点在x轴上。

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y= k x + m，椭圆C和直线l交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆相交于椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,以及确定该定点的坐标.

范例分析：第(1)小题考查的是椭圆的标准方程和几何性质等知识,如何运用待定系数法解答椭圆C的标准方程。第(2)小题除了考查椭圆的几何性质，还包括直线与椭圆的位置关系等基础知识,分类讨论思想以及解析几何的综合解题能力,需把椭圆C的方程和直线l的方程联立解答。

解（1）：设椭圆的标准方程： =1 (a>b>0).

由椭圆C上的点到焦点距离最大值为3,最小值为1,，可知：

a +c=3 ，a-c=1,可得a=2,c=1,b²=a²-c²=3.

可知椭圆的方程，.

(2)得（3+4k²）x²+8mkx+4(m²-3)=0

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),

则

又因为AB为直径的圆和椭圆交于椭圆右顶点D（2,0），所以.

    又 =(2- x₁,y₁)， =(2- x₂,y₂)，所以y₁ y₂+ x₁ x₂-2（x₁+ x₂）+4=0.①

又点A A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)都在直线l上：y= k x + m，

所以y₁ y₂=（ k x₁+ m）（k x₂+ m）=,所以 ①变成++4=0.整理7m²+16mk+4k²=0.    解得：m₁=-2k,m₂=-  符合3+4k²-m²>0.

当m二-2时, l的方程y二k(x-2),直线过点(2,0),与已知矛盾;

当m₂=-时，l的方程y=k(x- ),直线过定点（）

所以，直线l经过定点，其坐标为（）。

点评：该题是关于椭圆上的点到焦点距离的最大、最小值问题，这个问题在教科书的例题中就有，因此，在复习阶段要注重对课本例题的复习。第（2）题中是运用代数的方法进行解决几何问题，通过解决方程组问题，过定点D以AB为直径的圆,而是利用∠ADB= 90。结合向量坐标和直线的斜率,把问题转化成关于x的一元二次方程的根与系数之间的关系来解决，这样运算更简单些。

三、结语

综上所述，尽管高考圆锥曲线试题将数形结合、运算等知识结合，但其中考查的多是基础知识以及数学课本上例题的知识点是类似的。因此，高考数学复习应将重点放在对课本的例题和习题上，熟练掌握数学基础知识，构建牢固的圆锥曲线知识网络。

参考文献：

[1]胡升泰.二次曲线切线的一种几何作图法[J].安徽教育,2011,(08).

[2]李会珍.数学：试题形式新颖考查思维能力[N].陕西日报,2012.

[3]李刚.四步搞定圆锥曲线[N].中国电脑教育报,2010,(10).

[4]梅全雄.掀开圆锥曲线的面纱[N].中国电脑教育报,2011,(12).