“两点之间，线段最短”的建模应用浅探

王文强

（徐州市新城实验学校，江苏  徐州  221111）

摘  要：《课标》指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”学生对学习数学有了兴趣，并掌握了学习数学的方法，这就为提高他们的数学成绩、缩小他们之间的数学差距奠定了基础。

关键词：建模；应用；点；线段

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

根据《课标》编写的苏科版数学教材设计了一些“数学建模”活动，我们要充分开展和利用这些活动，并以此来调动学生学习数学的积极性，激发他们学习数学的热情。关于“两点之间，线段最短”的建模应用，很多老师、专家学者都写了大量的文章来论述。笔者不揣固陋，也想谈谈“两点之间，线段最短”的建模应用，请初中数学教学同行和专家学者不吝赐教。

关于“两点之间线段最短”的定律在历史上有一个故事。古希腊有一位将军问学者海伦：“从A地出发到河边饮马，然后再回到B地，怎样走路线最短?”海伦直截了当地回答：“两点之间，线段最短。”这就是数学上著名的“将军饮马问题”。但是，在将军问的问题中，马走的是一条折线。将军该如何指挥他的千军万马先到河边饮水，然后再走到B点而所走的路程最短，从而为他最大限度地节省时间而赢得战斗的胜利呢?如下图所示：

我们知道，在河边MN饮马的地点可以有很多处，我们在河边MN任选两个点，然后把这两个点与A、B分别连接起来，这样就构成了两条线段，这两条线段之和就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和。

但是，问题的关键不在这里，而是如何确定使两条线段长度之和为最短的那个点。如图，我们可以尝试在图上过B点作河边MN的垂线，垂足为C，延长BC到B’，B’是B地关于河边MN的对称点；再连结AB’，交河边MN于P，那么P点就是将军所要求的饮马地点，即在P点饮马所走的路程最短。

为什么在P点饮马所走的路程最短呢？如图，因为BP=B’P，AP与BP的长度之和就是AP与PB’的长度之和，即是AB’的长度；而选择河边MN的任何其他点，如D，路程AD+DB=AD+DB’，由于A、B’两点的连线中，线段AB’是最短的(两点之间，线段最短)，所以选择P点饮马路程要短于选择D点的路程。

“将军饮马问题”反映了数学中的对称性问题，据此我们可以总结出这样的规律：定直线L两旁有两个定点AB，在直线L上存在动点P，若要使得PA+PB的值最小,可作定点A关于直线L的对称点A’，连接AB’，则AB’与直线L的交点即为P，且PA+PB的最小值为AB’。我们可以应用上述规律来建模。

    一、在几何图形中的直接建模

例1(2010年鄂州中考题)：如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2，0)，P是OB上的一个动点，则PA+PD的最小值是多少？

解析：寻找模型：A、D是定点，动点P在定直线OB上。所以作点A关于直线OB的对称点，由正方形的对称性可得，A关于直线OB的对称点为点C，连接CD可得CD=√（OC²+OD² ）=√（6²+2² ）=2√10，即PA+PD的最小值是2√10。

    二、在几何图形中的延伸建模

例2(2009年陕西中考题)：如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45⁰，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。

解析：寻找模型：此题中同样只有一个定点，一动点M在定直线是AD,所以可作B关于AD的对称点B’，由角平分线的条件可得B’在AC边上，过B’作B’N⊥AB于N，交AD于M，因为点到直线的距离中，垂线段最短，所以此时BM+MN的值最小，且BM+MN=B’N。

    ∵点B’与点B关于AD对称，

    ∴AB’=AB=4√2，又∵∠BAC=45⁰。

    ∴AB’AN是等腰直角三角形，易求B'N=4，即BM+MN的最小值为4。

    三、求最小周长中的建模

用饮马问题模型解决最小周长问题，只要将最小线段和加上定值线段的长度即可。

例(2010年三亚市月考题)：如图，抛物线y=ax²+bx+c,交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-l，0)、C(0，-3)。

    (1)求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；

    (2)求△AOC和△BOC的面积比；   

    (3)在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

解析：(1)(2)略。(3)在抛物线y=x²-2x-3上，存在符合条件的点P。如图，连接BC，交对称轴于点P。连接AP、AC。∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小。

利用模型:A、C是定点，动点P在定直线x=1上，则作A关于对称轴x=1的对称点是点B(3，0)连接BC，∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC=BC为最小。

∵OC∥DP，

    ∴△BDP～△BOC，

    ∴DP／OC=BD／BO即DP／3=2／3，

    ∴DP=2，

 ∴点P的坐标为(1，-2)。

    说明：求点P的坐标方法较多，可以尝试一题多解。

“将军饮马问题”应用非常广泛，由“将军饮马问题”而推导出的“将军饮马规律”可以用来解决很多问题，可以用来构建很多数学模型，除了上述讲的三个方面外，还可以在代数中建模，等等。

上面探讨了“将军饮马问题”即“两点之间，线段最短”问题，目的是让学生在掌握数学基本知识和基本技能的同时，还要掌握数学思想方法。正如《课标》所指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”学生一旦掌握的数学学习的思想方法，就能够为他们以后进一步学习数学奠定坚实的基础。