利用整体思想解题应用举例

王中华

（赣州市于都县第八中学，江西  赣州  342300）

摘  要：整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，当从局部入手遇到困难时，转而从整体上去认识问题、思考问题．利用这种解题策略常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．在初中数学中的数与代数、几何与图形等方面，整体思想都有广泛的应用．每年的中考题都有许多有创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，特别是在考查较高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

关键词：整体思想；解题；应用

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、整体思想在数与式中的应用

例1 已知代数式 的值为9，则 的值为（　　）．

　　（Ａ）18     （Ｂ）12      （Ｃ）9       （Ｄ）7

分析：如果根据题意直接求出 ，再代入到 中求值较麻烦．

由题意可得 ，而 是 的2倍，所以可以将 看作一个整体，

则 ．故选(B)．

说明：此题是灵活运用整体思想求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解．

例2　已知 ，  ，  ，

求多项式 的值．

分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到 ，只要求得 ， ， 这三个整体的值即可．

略解：由已知得， ， ， ，所以原式

．

说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解题的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

二、整体思想在方程(组)与不等式（组）中的应用

例3　已知 ，且 ，则 的取值范围是               ．

分析：本题如果直接解方程求出 ， 再代入 肯定比较麻烦，注意到条件中 是一个整体，因而我们只需求得 ，通过整体的加减即可达到目的．

解：将两方程相加，得： ，所以 ，即 ，解得 ．

例4　已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 ， 的二元一次方程组 的解为                        ．

分析：如果把 代入 ，解出 ， 的值，再代入 进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组 中令 ，则此方程组变形为 ，对照第一个方程组即知 ，从而 ，容易得到第二个方程组的解为 ，这样就避免了求 ， 的值，又简化了方程组，简便易操作．  

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

三、整体思想在函数与图象中的应用

例5　已知 和 成正比例（其中 、 是常数）．（1）求证： 是 的一次函数；

（2）如果 时， ； 时， ，求这个函数的解析式．

解：（1）因 与 成正比例，故可设 ，整理可得 ，因 ， 、 为常数，所以 是 的一次函数．

（2）由题意可得方程组 ，解得 ， ．

故所求函数解析式为 ．

说明：在（1）中，把 和 各看成一个整体；在（2）中，解出 、 、 是不可能的，也是不必要的．故将 看成一个整体求解，从而求得函数解析式．

四、整体思想在几何与图形中的应用

例6　如图，               ．

分析：由于本题无任何条件，因而单个角是无法求出的．

利用三角形的性质，我们将 视为一个整体，那么应与

△ 中 的外角相等，同理 ， 分别与 ， 的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

解：因为 ， ， ,根据三角形外角和定理，得 °，所以 °．

说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．

例7　如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，

则地毯长度至少需________米．

分析：可以发现地毯的长度是楼梯AB拉直后的长度，而不是△ABC中AB的长度，而拉直后的长度无法直接计算．换个角度思考，可以把楼梯每一个台级的竖直高度平移至BC，再把每一台级的水平宽度平移至AC，则地毯长度为AC+BC，依题意AB=2BC=4，由勾股定理得AC= ，故地毯长度为 （米）．

说明：本题把折线形的楼梯长度转化为两直角边之和，巧妙地应用了整体思维．

例8　如图，菱形 的对角线长分别为3和4， 是对角线 上任一点（点 不与 ， 重合），且 ∥ 交 于 ， ∥ 交 于 ，则图中阴影部分的面积为               ．

解：不难看出，四边形 为平行四边形，从而△ 的面积等于△ 的面积，故图中阴影部分的面积等于△ 的面积，又因为S_△ABC = S_菱形ABCD = ，所以图中阴影部分的面积为3  ．

说明：本题中，△ 与△ 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．