该讲的就得讲透——以一元一次不等式组的应用题解答为例

谢  敏

（扬州大学附属中学东部分校，江苏  扬州  225003）

摘  要：笔者在对苏科版数学七年级下册《一元一次不等式组的应用》进行教学时，考虑到教学大纲对本节内容进行了删减，但后面的习题中依然出现这类题目，因此本节内容还必须得适当选讲．由于要求降低，笔者不愿再选取一些很复杂的题目故意“刁难”学生，而是在书后的习题中选择几道具有代表性的题目，通过学生独立完成、尝试出错，笔者点拨、规范解题，最后合作探究、提炼升华，最终实现本节的教学目标．

关键词：一元一次不等式组；应用题；解答

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、尝试出错，规范解题

例1.（课本P138，第5题）在ΔABC中，AB=AC,BC=10cm.设这个三角形的周长大于34cm且小于44cm，求AB的长度范围．

    问题一提出，就有学生不假思索，太简单了吧，解不等式就可以了．笔者要求学生自己动笔做，并请一位同学黑板上板演．几分钟后，就有同学报出正确答案：12<x<17．在学习了一元一次不等式组后得出本题的正确答案是比较容易的．笔者巡视并查看了部分同学的解答过程，基本上出现了共同的错误（这是笔者预料之中的）．结合黑板上的板书，笔者对出现问题进行及时更正．主要细节问题有：1、没有设未知数，直接用字母AB表示，甚至有同学用AC表示（致使整个书写过程比较凌乱）；2、直接根据题意写出一个不等式34<2x+10<44，列此不等式组相对容易，但解此类不等式组就会出现错误，尤其是未知数的系数为负数时，因此在这里统一要求学生分开写，列一元一次不等式组 ，进行解答．通过本题的解决，学生初步感受到用不等式组解决问题必须规范解答，避免出错．

二、合作探究、提炼升华

例2.（课本P141，第12题）一个三角形的3边长分别是xcm、(x+1)cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm．求x的取值范围．

此题表面上是列一元一次不等式求x的取值范围，实质上要深挖隐含条件，用一元一次不等式组解决问题．

不到两分钟时间，就有同学迫不及待的报出答案：x≤12．紧跟着又有几位同学说出了相同的答案．此时，笔者抓住时机，做出进一步的引导．

笔者：x≤12包括负数吗？如果包括，那么x还符合题意吗？

学生1：包括．应该保证三角形的周长为正数，因此再列出一个不等式：x+(x+1)+(x+2)>0．

笔者：还有其它的限制或隐含条件吗？

思考片刻后，有学生回答：

学生2：有．因为三角形的三边长中都含有未知数x，我们可以根据三角形的三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，再列出一个不等式：x+(x+1)>x+2.

学生2的回答与笔者的期望相一致．

笔者正准备概况归纳此题时，一位同学高高举手．

学生3：根据三角形的任意两边之和大于第三边，还可以列出另外两个不等式：x+(x+2)>x+1，（x+1）+(x+2)>x．

学生3 的回答有点出乎笔者的预料，但笔者不能马上否定这位学生的想法，否则会打击该生主动思考的积极性．既已致此，笔者决定就此题让学生展开讨论，合作探究学习．

笔者：这位同学考虑很周全．其他同学还有自己的想法吗？

学生4：那我们也可以根据三角形的任意两边之差小于第三边，列出另外三个不等式：(x+1)－x<x+2，(x+2)－x<x+1，(x+2)－(x+1)<x．

笔者将学生列出的不等式一一写在黑板上．此时，已是8个一元一次不等式构成的不等式组，已有同学忍不住喊：“这么多啊？不会一一解出吧？”“太多了，能不能少几个啊？”

此时学生的兴趣已被大大提高，因为谁都不愿意求这8个不等式构成的不等式组的解集．那么怎样才能删减一些呢？就这个问题，笔者让学生小组讨论，尽量让每位同学都参与其中．

笔者：8个不等式的确有点多，那怎样才能删减一些呢？

学生5：根据三角形的任意两边之和大于第三边列出的三个不等式可以删减两个，只需要较小的两边之和大于最长边即可，因为最长边再加上任意一边长肯定大于第三边．

笔者：这位同学说的很有道理．这样一下子就少了两个．还可以再简化吗？

学生6：同样根据三角形的任意两边之差小于第三边列出的三个不等式也可以删减两个，只要较大的两边之差小于最小边即可．

笔者：这位同学真是厉害！他的变通能力很不错．现在剩下四个不等式，还能够再减吗？

学生7：三角形的任意两边之差小于第三边，通过移项就变成了三角形的任意两边之和大于第三边，因此最后两个不等式实质上就是一个不等式．

笔者暗自高兴，终于有同学能够比较透彻的理解三角形的三边关系了．趁热打铁，笔者将三角形的三边关系再次帮大家理清头绪：三角形的任意两边之差小于第三边实际上就是三角形的任意两边之和大于第三边；而根据三角形的任意两边之和大于第三边可以列出三个不等式，这三个不等式中，如果能够确定三边的大小关系，那么只需保证较小的两边之和大于最长边，那么另外两个就一定成立，此时只需要一个不等式就可以了．

笔者：通过大家的共同努力，我们已经将8个不等式删减到3个不等式，现在解这个不等式组应该没有问题，那么请大家正确求出本题的答案．

正当老师认为此题大功告成时，又有一位同学发表自己的意见．

学生8：老师，我认为还可以再删减一个不等式．

这位同学的一句话又将大家稍稍松懈的神经紧绷起来．

学生8：可以将周长大于零这个不等式删去．因为由x+(x+1)>x+2，不等式两边都加上x+2，就得到x+(x+1)+(x+2)>2(x+2)，且x为三角形边长，一定保证x+2>0，因此一定有x+(x+1)+(x+2)>0.

这位同学的回答太精彩了，出乎笔者预料．笔者本以为此题需要列三个不等式才能解决，现在被这位同学的解释感动，真是“青出于蓝而胜于蓝”．这不就是笔者一直在教学中追求的吗！笔者情不自禁的拍手鼓掌，其他同学也跟着了给以热烈的掌声．

三、教学感悟

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．教育的目的是育人，从数学学科教学的角度就是教学生学会思考，特别是面对新的情景、要解决新的问题的时候，要让学生通过自己的思考，自己寻找解决问题的方法．在本节课中，学生经历了探究的过程，他们对问题的认识才能深刻，对错误的纠正才能有效．