浅谈分式方程的增根与无解

由科军

                        （西安交通大学附属中学分校，陕西  西安  710048）

摘  要：本文剖析了分式方程中的增根与无解两个较难掌握的概念，由此总结出两者的区别和联系，举例介绍了他们在解题中的应用。                       

关键词：分式方程；增根；无解

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

增根与无解是分式方程中的两个重要概念.两者既有区别，又有密切的联系。解分式方程首先要化分式方程为整式方程，需要用分式方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边。如果所得整式方程的解恰好使最简公分母为零，则这个解就是增根；如果使最简公分母不等零，则所得整式方程与原分式方程同解，则整式方程的解就是原分式方程的解。而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它通常包含两种情形: 一是原分式方程化去分母后的整式方程无解，则原分式方程也无解；二是原分式方程化去分母后的整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根，从而原分式方程无解。

下面通过具体的实例加以分析。

一、分式方程的验根

例1、解方程

 解：去分母得

解得 或

经检验 是增根，分式方程的解为 。

小结：此题考察了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，即把分式方程转化为整式方程求解，但解分式方程一定要注意验根。

例2、若关于 的分式方程 的解为正 数，那么字母 的取值范围是               ．

解：分式方程去分母得

解得

根据题意得 且

解得 且 。

注意：此题考察了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键，注意分式方程的隐含着分母不等于零。

例3、若 的值等于零，求 的值。

解：由 得

解得

检验：当 时，分母等于零，故其为增根舍去，所以 。

二、使分母为零的 的取值是否就是增根呢？ 

首先，增根会使某个分式的分母为零，但能使某个分母为零的 的取值未必是分式方程的增根。
    其次，要知道增根存在的条件：

（1）必须是去分母后的整式方程的根；（2）此根会使原分式方程的某个分母为零。

例4、

    解：去分母得

解得

检验：当 时，则

所以 是原方程的根，而不是增根。

三、若分式方程一定有增根，则某个分母为零的取值，将有成为增根的可能。

例5、 关于 的 方程有增根，求 的值。

解：去分母得：

分类讨论：（1）若分母 ，则 ，

将其代入 中，得 ，显然不成立，所以 不可能成为增根。

（2）若分母 ，则 ，

将其代入 中，得 ，所以

综上

四．增根不同于无解

分式方程无解有两种情况：

（1）       方程去分母后，如果出现 （ 的常数），则整式方程就无解。

（2）       增根导致无解。

例6、关于 的分式方程 无解，求 的值。

解：去分母得：

化简

（1）       若 ，即 ，则方程 无解。

（2）       若增根引起分母 ， 代入 中， 所以当 时产生增根 以致分式方程无解。

（3）       若增根引起分母 ，代入 中， ，显然不成立，所以 不可能成为增根。

因而 或 均会使原方程无解。

例7、 若关于的方程 无解，则 的值是2

解： 得

方程去分母得

把 代入方程得 ，得

综上所述，运用转化思想将分式方程转变成整式方程，在简化了解题过程的同时，也带来了增根的危险，检验就成了最后一道“防火墙”，不容忽视。我们可从分母为 中估测可能出现的增根，但是否存在，要看是否为去分母之后的整式方程的根方能确定。增根还会导致分式方程无解，但无解又未必全是由于增根引起，增根与无解既有联系又有区别，考虑问题须全面缜密。