如何突破圆锥曲线中的范围及最值问题

张亚娟

（礼泉县第二中学，陕西  咸阳  713200）    

摘  要：圆锥曲线中的范围问题既是高考的热点问题，也是难点问题．解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，但根据目标函数和不等式求范围正是求解这类问题的难点．建立目标函数的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题．建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特性、判别式法或基本不等式等灵活处理．

关键词：圆锥曲线；范围；最值问题

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

例1：已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当| |最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意，得

解得a²＝16，b²＝12.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.

因为 ＝(x－m，y)，

所以| |²＝(x－m)²＋y²＝(x－m)²＋12·＝x²－2mx＋m²＋12＝(x－4m)²＋12－3m².

因为当| |最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

即当x＝4时，| |取得最小值．而x∈－4,4]，

故有4m≥4，解得m≥1.

又点M在椭圆的长轴上，所以－4≤m≤4.

故实数m的取值范围是1,4]．

例2：已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且 · ＝ · .

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l₁，|DB|＝l₂，求＋的最大值．

解：(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)，

∵ · ＝ · ，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．

即2(y＋1)＝x²－2(y－1)，

即x²＝4y.

所以动点P的轨迹C的方程为x²＝4y.

(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a²＝4b.①

圆M的半径为|MD|＝ .

圆M的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝a²＋(b－2)².

令y＝0，则(x－a)²＋b