数 列 中 多 种 形 态 的 裂 项 求 和

甘向秀
（新建县第二中学，江西  南昌  330100）  
摘 要：在求数列前 和的的各类方法中，裂项方法是常用的一种重要方法。本文对裂项求和的问题的各种类型和解法进行了归纳总结。
关键词：高中数学；数列；求和问题
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

数列求和问题是数列中的重要内容，在高考和各类竞赛中都是一个重要的考查知识点。在求数列前 和的的各类方法中，裂项方法是常用的一种重要方法。其目的是在求和过程，通过抵消达到过化简。理论上讲，如果 中， 可裂项为 ，即连续项的差，通过相抵消后得 。
以下对裂项求和的问题的各种类型和解法进行归纳总结，希望对大家的学习有所帮助。
一、与等差联系的裂项求和
一般形式为：如果数列 为等差数列，公差为 ，求 ，其中通项公式可裂项为 。
例1、求和 。
分析：因为通项裂项为： ，
所以有
二、与等比联系的裂项求和
一般形式为：求 其中通项公式可裂项为： 。
例2、求和 。
分析：因为通项裂项为： ，
所以有
三、与等差、等比联系的裂项求和
类型（Ⅰ）一般形式为：设 为等差数列，公差为 ，
求 ，其中通项公式可裂项为： 。
例3、求和
分析：因为通项裂项为： ，
所以有
类型（Ⅱ）一般形式为：设 为等差数列，公差为 ，
求 ，其中通项公式可裂项为：
 。
例4、求和 。
分析：因为通项裂项为： ，
所以有
四、与根式联系的裂项。
类型（Ⅰ）一般形式为：设 为等差数列，公差为 ，求 ，其中通项公式可裂项为： 。
例5、求和 。
分析：因为通项裂项为：  ，
所以有
类型（Ⅱ）一般形式为：设 为等差数列，公差为 ，求
 ，其中通项公式可裂项为： 。
例6、求和 。
分析：因为通项裂项为： ，
所以有
类型（Ⅲ）一般形式为：设 为等差数列，求
 ，其中通项公式可裂项为： 。
例7、求和
分析：因为通项裂项为：
所以有
可见，能通过裂项抵消求和的基本形式是多样的，其主要特征为：项的形式结构多半是分式状态，且分母为连续因式为积，只有含根式时，分母可能呈现和的关系。