重视定义域

张兆伟

（扬中市新坝中学，江苏  镇江  212211）

摘  要：函数是高中数学的主要内容，贯穿了整个高中数学的始末，也是高考的必须考察的一个重点知识。然而函数的三要素中，定义域又是十分重要的。研究函数的性质时应首先考虑其定义域。在我的教学过程中，我发现学生对定义域本身知识的学习是能掌握的，然而在求解函数有关问题时，容易忽视定义域，从而导致解题错误。在解函数题时强调定义域，对解题有很大的帮助，对学生数学思维的提高也是十分有益的。下面我就自己的工作经验对有关定义域的问题做一个小结。

关键词：定义域；函数；数学思维

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、求函数解析式时

例1．已知函数 满足 ，求 的解析式。

错解：令 ，则 ，

剖析：   隐含着定义域是 ，所以由 得 ， 的定义域为 ，即函数 的解析式应为 （ ）。注意到 的取值范围后才能保证转化的等价性。

正解：由 ，令 得 ，解析式得 （ ），即 （ ）。

二、求函数最值（或值域）时

例2．若 求 的最大值。

错解：由已知得  ①，代入 得

，∴当 时， 的最大值为 。

剖析：上面的解法误认为 的取值范围是一切实数，但是 的取值范围由 限制。所以解题的时候要注意 的范围。

正解：由 得 ，

， ，因函数图象的对称轴为 ，∴当 是函数是增函数，故当 时， 的最大值为 。

例3．已知函数 ，则函数 的最大值为      

错解： = = 在 上是增函数，故函数 在 时取得最大值为22。

正解：由已知所求函数 的定义域是 得 ，

= = 在 是增函数，故函数 在 时取得最大值为13。

例4．求函数 的值域．

错解：令 ，则 ，∴

．故所求函数的值域是 。

    剖析：换元后， 是有范围的 ，而函数 在 上是增函数，随着 增大而增大．所以当 时， ．故所求函数的值域是 。

    <另解>：此题还可以令 （ ），均为增函数， 也为增函数。 当 时， 取最小值1， 。

三、求函数单调区间时

    例5．求函数 的单调递增区间.

错解：令 ，则 为增函数. 在 上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数 在 上为增函数，即原函数的单调增区间是 。

剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间。

正解：由 ，得 的定义域为 . 在 上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数 的单调增区间是 。

例6．求 的单调区间。

错解：令 ， ， 时， 为减函数， 时， 为增函数，又 为减函数，故以复合函数单调性得原函数增区间为 ，减区间为 。

剖析：在定义域内取 ， 值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由 ，得 或 ，故增区间为 ，减区间为 。

例7．指出函数 的单调增区间。

错解：∵ ，∴ ，∴当 时， 或 ，∴函数 的单调增区间为 。

剖析：此题错在没有考虑函数的定义域 ，故本题的答案为 ．

四、判断函数的奇偶性时

例8．判断 的奇偶性。

错解：∵ ， ∴ 为偶函数。

剖析：奇偶函数的判断中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为 ，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数。

五、实际问题下的定义域时

例9. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少15层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥15)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋24x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)。

错解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，

则f(x)＝(560＋24x)＋＝560＋24x＋

∵f(x)＝560＋24(x＋ )≥560＋24·2 ＝560＋48×15 ＝560+720

当且仅当x＝ 时，上式取等号，即x＝15 时，f(x)min

所以楼房应建15 层．

剖析：此题忽略了楼房是正整数的实际问题，15 不是正整数，所以不能作为答案。

正解：设楼房每平方米的平均综合费用为