摘要：数学问题的解决是我们学习数学知识最终目的，也是高考考查我们对数学知识掌握的重要途径。但是数学问题复杂多变，我们很难快速、准确的找到数学问题的切入点，实现问题的解决。而思维导图作为一种思维工具，能够帮助我们简化解题过程、优化解题思路，促进解题效率的提升。基于此，本文从利用思维导图呈现解题方法挖掘过程、展现数学思维的发散过程、体现方程题组的变化过程和实现数学图像的直观过程四个方面出发，分析和总结高中生基于思维导图的有效数学解题方法和策略。
关键词：高中数学解题方法思维导图
高中生基于思维导图的数学解题方法
文/关瀚儒
思维导图是一种综合运用文字、符号和图形的辅助学习的思维工具，能够以直观形象的方式表达知识架构，实现形象思维和抽象思维有机结合，呈现思考的过程和知识间的关联，将其运用到高中数学的解题过程中能够有效解决知识混淆、步骤不明、思路缺失等问题，使整个数学题目的知识要点、解题步骤、求解思路在思维导图的直观展示下更加的清晰明了。
所以，我们要学会利用思维导图解决高中数学中的难题。下面我将结合自身的学习实践经验对高中生如何基于思维导图解决数学问题谈一谈自己的看法。
一、利用思维导图呈现解题方法的挖掘过程
对解题方法的形成过程进行挖掘是有助于我们真正理解、体会和掌握数学解题方法的有效途径，思维导图正是呈现解题方法形成和挖掘过程的有效载体。所以，我们在日常的数学解题练习中要养成良好的习惯，做到准确审题，从数学题目中筛选出利于问题解决的有效信息和条件， 并将这些信息结构化，按照信息与题目条件一步一步地绘制成思维导图，使信息更系统化、条理性、层次性，这样便能够有效加强题目关键信息之间的全面性与关联性， 从而能够在探究解题思路的过程中主动构建解题的思想和方法， 体会到整个数学解题的全过程。
例如，我们在解题时，第一步要做的便是对题干信息的阅读，通过分析题干来寻求解题方法，但是在一般情况下，光是凭借阅读很难找到解题思路，所以，在数学解题过程中，我会利用思维导图的形式对知识点进行记录， 并把解题分成以下几个步骤：
明确了解题方法后，我以“已知，不论b 取何实数，直线y=kb+b 与双曲线x
2-2y
2=1 总有公共点， 试求实数k 的取值范
围。”这道例题为例，首先，通过阅读题干我找到了本题的关键条件总有公共点，然后我结合这部分的知识点进行思考，与双曲线只有一个公共点的直线有两种， 一种是与渐近线平行的双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线，根据这一知识点， 我便想到了利用数形结合的方法将方程组转化成一元二次方程， 然后利用判别式或者韦达定理进行求解证明即可。
二、利用思维导图展现数学思维的发散过程
思维导图的绘制和展现过程刚好是发散思维和放射思维具体化的呈现，反映着大脑思考问题的解决过程。所以我们正好可以利用这一点来进行数学问题的解决。具体来说，我们要在根据数学题目中的关键信息和条件绘制思维导图后， 根据关键信息进行不同角度和不同层次的联想与扩展， 联想与题目相关的、有内在联系的知识或者解题思想方法，实现数学思维的充分发散， 从中得出不同的解题方向， 找到解题的突破口，从而解题突破口中顺利实现数学问题的解决。
例如，以“斜率为1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB 的长。”这道题为例，我用思维导图对本题进行了分析。所制作的思维导图如下所示：
解析：由抛物线方程得出焦点F（1,0）和准线方程x=-1，再将准线方程代入方程y
2=4x， 整理得：x
2-6x+1=0， 方程解得：
x1=3+2
2姨
，x
2=3-2
2姨
， 然后再将x
1、x
2分别代入直线方程，
求出A、B 点的坐标（3+2
2姨
，2+2
2姨
），（3-2
2姨
，2-2
2姨
），所以|AB|=8。
这样，在高中数学解题过程中，我通过利用思维导图，有效加快了对数学知识的理解，提高了自身的解析效率。
三、利用思维导图体现方程题组的变化过程
题组和题组的变式展现是能够帮助我们掌握数学问题中的潜在规律，进行数学思想方法有效归纳的重要途径。而思维导图是呈现题组、呈现题组变化的关键性要素。所以说，我们在数学的解题过程中可以利用思维导图来将一道静态封闭的题目从不同角度、不同层次出发变化为一个动态开放的题目，包括对题组中数学题目的条件和假设进行适当的变换， 从而在题组的变化中发现不同和相同之处， 进行有效的归纳和总结，发现其中所隐藏的潜在规律，最终掌握同一类题目的解题方法，从而能够做到举一反三、触类旁通。
例如，以“求解反函数y=555555555555555555555555555”这道题为例，为了体现方程题组的变化过程，我采用了思维导图对这道方程题组进行了分析，求函数的反函数的一般步骤为先确定原函数的值域，也就是反函数的定义域，在求出反函数定
（下 摘要：作为数学的灵魂，数学思想是一切数学知识的精髓所在，是学生将所学数学知识转化为解题能力的重要媒介，尤其是近年来的中考数学题高度重视考查学生的数学思想掌握情况， 强化数学思想教学指导与应用具有重要意义。
本文先对数学思想及其应用价值进行了分析，然后结合例题，重点对常见的数学思想及其在中考数学试题中的具体应用进行了探讨，希望能有效提升初中生的数学解题能力。
关键词：数学思想中考数学解题能力
数学思想在中考数学题中的应用
文/姜丹
在新课改实施日益深入的背景下， 新课标对初中数学教学提出了越来越高要求， 其中最为显著的一个变化就是要促使学生从知识被动接受向能力提升方向转变， 同时中考数学试卷中重点考察学生数学解题能力的试题也越来越多。数学思想则是一切数学知识的精髓所在， 也是提升学生解题能力的重要保障， 所以数学教师需要高度重视数学思想在解题教学中的渗透，深化学生对于数学思想的理解和认识，不断提升其解题能力。
一、数形结合思想及其应用
我国著名数学家华罗庚先生曾在探讨数与形关系的时候说：“数缺形时少直说，形少数时难入微。”只有数与形相互结合，才能够“万事休”，这充分凸显了数形结合思想的重要性。
通过数形结合思想的合理运用，可以将某些繁杂、抽象的数量关系，以形象、直观的几何图形来进行直接展现，也可以将某些图像的性质等，以数量关系加以体现，从而可以起到化繁为简，化抽象为具体，提高解题能力的有效性。因此，在实际的中考数学题求解中，对于几何问题的求解，可以尝试运用代数方法，或者对于代数问题的求解，可以尝试运用几何方法。
例1：已知某函数图象如图1 所示，试求当y>0 时，x 的取值范围___。
解析：由图1 可知，在y>0 时，相应的函数图象应该处于x轴的上方， 这样就可以直观地确定出本道题的正确答案为，x<-1 或1<x<2。
图1
例2：已知A点坐标为（2,2），假如P位于坐标轴上，且△APO为等腰三角形，那么可知点P 的坐标，肯定不是（ ）。
A（. 2,0） B（. 4,0） C（. 0,2） D（. 3,0）
解析：通过对该题干信息进行阅读，涉及到比较多的抽象参数，学生理解起来可能难度比较大，这时候如果可以灵活地应用数形结合思想，将题干文本信息转化成图2所示的图形，那么可以直观地观察到选项A、选项B和选项C均符合题干要求，但是选项D不符合相应要求，所以该道题的正确答案为D。
图2
例3：如图3，将一个装有部分水的圆柱形小玻璃杯搁置于一个空的大圆柱形玻璃杯中， 现在通过某注水管沿着大玻璃杯的内壁向其中进行匀速注水， 那么可以求出该小玻璃杯内水面高度h(cm)和注水时间t(min)之间所构成的函数图像近似于如下哪一种（ ）。
图3
解析：通过对题干信息进行详细审读，可知最初的小玻璃杯中在没有注水前就已经有一定量的水， 所以其最初的高度必然大于0， 所以可知本道题目中的选项A 和选项D 是错误的。在用注水管进行持续注水的过程中，水会在最初一段时间内先填充大玻璃杯底部，不会流入到小烧杯中，所以这段时间内小烧杯中水的高度不会发生变化， 待小玻璃杯和大玻璃杯中水面保持一致后，水就可以流向小玻璃杯，这时候其高度会逐渐增加， 待浸没小烧杯后， 其水面高度h 不会继续发生变化，由此可以清楚地得出该道题的正确答案为B。
例4，如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，CD是△ABC 斜边上的高，现有一点E 位置于AB 上，过E 点作一条直线， 其同△ABC 直角边相较于F 点， 其中AE=x，△AEF的面积y。假定AB⊥EF，试求在AB 上移动的时候，函数y 和x的函数关系？ 在x 取值为何时，y 值取得最大值？
图4
解析：该道题是数形结合思想应用的一个典型题，借助几何图形方面的知识来求解代数函数问题， 那么可以快速达到求解的目的。首先， 要根据题干信息以及三角形面积求解公式，求得函数y 和x 之间构成的函数关系式为y=1/2*x*EF，然后在求解EF 的长度，结合AE（x）和AD 之间的长短关系，当0<x<AD 时，△ADC 和△BEF 二者呈现为相似的关系；当AD≤x≤AB 时，结合EF 长度可以求出△BEF 的面积。在 种情况下， 可以分别求出对应二次函数何时取得最大值以及最大值是多少， 之后通过对比分析这两个最大值即可找出该道题的正确答案。在该道题目求解过程中，借助几何图形中三角形、线段和相似等相关知识，对面积和线段之间函数关系进行仔细思考，那么可以将二次函数方面的代数知识形象化、具体化，这样可以显著打破学生求解数学问题的常规思维束缚，有效结合几何知识和代数知识来提升学生求解能力。
二、方程思想及其应用
方程式初中数学教学的重要内容， 也是学生学习的重难点。如果初中生可以熟练地掌握和应用方程思想，那么对于提升学生的数学解题能力具有重要意义。方程思想本质上就是基于问题数量关系入手，通过科学、合理地设定未知数，有效地结合未知量和已知量之间的数量关系来构成求解问题的方程组，这样就可以有效地运用方程思想来解决数学问题。在实际的中考数学题中，对于方程思想的考查，主要侧重于如下两个方面，除了通过列方程组来求解数学应用题外，还可以借助方程来对几何问题或代数问题进行求解。
例8：如图7，该反比例函数图象经过A、B 两点，且已知A点坐标为（1,3），B 点的纵坐标为1，C 点坐标为（2,0），试求：（1）该反比例函数的解析式？（2）直线BC 的解析式？
图7
解析：该道题给出了函数图象，并给出了其中几个关键点的坐标，所以需要结合这些关键点满足待求函数关系式，将B点代入到反比例函数中来得出一个函数关系式。而对于直线函数关系式的求解， 则可以通过将点B 和点C 两点代入到一次函数解析式中，借助方程组求解来求得函数解析式，借此来达到求解该道题的目的。
解：（1）假定待求反比例函数解析式为：y=k/x（k≠0），因为点A 位于反比例函数图象上，所以可知3=k/1，求得k=3，所以待求反比例函数解析式为y=3/x。
（2）假定待求直线BC 的解析式为：y=ax+b(a≠0)，因为点B 位于反比例函数图象上， 可以通过将B 点纵坐标代入解析式求得其横坐标为3，之后再将B 点坐标带入到直线BC 解析式中，可得1=3a+b，0=2a+b，联立可得a=1,b=-2，所以待求直线BC 的解析式为y=x-2。
三、整体思想及其应用
在对某些数学问题进行求解期间， 往往不是以某个部分作为着眼点来进行求解，而使放大考查问题的视角，将待求解的问题看做成一个整体。通过对研究问题的整体结构、形式或作整体处理后，可以快速、便捷地找到解题突破口，最终达到求解相应问题，这就是所谓的整体思想。
例9：如图8，在天平上面搁置有正方体、圆柱和球体，可以保持天平保持平衡状态， 那么由此可知同2 个球体质量等同于几个正方体的总质量？
解析：如果通过直接观察，那么学生很难求得该道题的正确答案，但是如果可以先假定正方体、圆柱和球体的质量，那么就可以更好地明确它们之间的质量关系。比如，可以假定球体、圆柱和正方体三者的质量分别为x、y 和z， 那么根据图8所示的天平， 可以列出①2x=5y 和②2z=2y 这两个求解方程，之后通过①*2-②*5 得到4x-10z=0，即2x=5z，所以可知2 个球体质量等同于5 个正方体的个数。
图8
除了上述常用数学思想外，函数思想、建模思想、转化思想等也是中考数学题求解中常用的数学思想。比如，函数思想主要是用变化和联系的观点来对数学对象间的数量关系进行揭示或看待，具体就是利用函数的概念、性质以及图像等相关知识去构建解决问题的专门函数模型。比如，可以运用函数的最大值、最小值、周期性、奇偶性以及单调性等性质来解决有关数学问题。
总之，数学思想是数学知识的精髓所在，其掌握情况直接关乎初中生解题能力的高低。在实际的教学中，数学教师需要高度重视数学思想渗透， 同时平时的解题教学中要注意结合具体中考数学题目，为学生讲解方程思想、整体思想、数形结合思想等数学思想的具体应用， 确保学生可以灵活应用数学思想来解决数学问题。
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（作者简介：姜丹，本科，单位：黑龙江省鹤岗市私立新北方学校初中部，数学教师，班主任，研究方向：数学教学。）
