3x+1猜想的证明

韩桂平
（泰州姜堰张甸中学，江苏  泰州  225527）
摘  要：本文笔者介绍了3x+1猜想，并分析了自然数与奇偶矢量的对应。
关键词：猜想；证明；自然数；奇偶矢量
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、3x+1猜想的介绍
从任一正整数n出发，进行如下的一系列运算：若n是奇数，就求3n+1；当n是偶数，就除以2……，如此反复计算，最终必然在有限步运算内达到1。这就是3x+1问题 (或称 3n+1猜想)。
3N+1猜想的数论函数定义如下：
 
依上式进行迭代得到一个迭代轨迹序列：T(n),即：T(n) = (C0(n), C1(n), C2(n), C3(n),……)
其中：C0(n) = n，经过有限的迭代次数k，必可使得Ck(n) =1。
并且定义k为n的高，记作G(N) =k
依上式进行的迭代曾经是多数学者所采用的迭代，称为通常迭代。
显然，若所有奇数符合3N+1猜想，则所有的自然数也符合3N+1猜想，因此许多人采用压缩迭代代替通常迭代，其函数定义如下：
C(m) = (3m + 1)/ 2e(m)                                                                    (1.2)
（式中 e(m)表示使偶数3n+1能被2e(m)整除的最大自然数）
二、自然数与奇偶矢量的对应
2.1数集与奇偶矢量集间的一一映射
设自然数n的轨迹序列为 
=     ，对i=0,1,2,...令
         得矢量
   称为n的奇偶矢量；而矢量
（1）            称为n的长为i的子奇偶矢量
显然，任意给定一个自然数n以后，由于它的轨迹序列（2.1.1）是唯一确定的，因而它的奇偶矢量（2.1.3）也是唯一确定的。
引理2.1    设 则
推论2.1   设 ,则当r为偶数时， 当r为奇数时， 与 取值相异。
推论2.2  若  n= 
则v= 其中
推论2.3  n= 
则n的轨迹序列T(n) = (C0(n), C1(n), C2(n), C3(n),……)的前k+1项是这样变化的且
引理2.2   对任何 ,在 之间可建立一一映射 .
引理2.3   在N和V之间可建立一一映射 
三、3x+1猜想的证明
若奇数n与2n+1具备如下两种形式：
  形式1：   n= =
2n+1= =
     k>=2时为奇数
     为奇数
形式2：n=
2n+1=
   为奇数
    为奇数
可以看出迭代轨迹序列形式1、形式2交替出现，直至形式1， k=1时
当k=1时形式1   
 
 ， =4
可以看出n与2n+1在压缩迭代下是同高且同路的！
例：15,31,63中15,31虽然具有n与2n+1为奇数的形式，但是他们既不具有形式1也不具有形式2，而31,63具有形式1，
31的压缩迭代轨迹序列（31,47,71,107,161,121,91，137， ）
63的压缩迭代轨迹序列（63,95,143215,323,485,91，137， ）
可以看出在压缩迭代轨迹序列形式1、形式2交替出现，31与63在压缩迭代下是同高为39且同路于91的！因此得到如下定理。
定理1：若n为4k+3奇数的形式,则n与前一个或后一个具备形式1、形式2的奇数在压缩迭代下是同高且同路的！
因此再得到定理2：不存在除 （1，2，1  ） 之外的循环
证明假设存在这样的最小的循环（ ），则 具有4k+3的形式。
 ，故也存在这样的的循环（  ）
所以     ，矛盾！
定理：不存在高G(N)为 的整数n,
设n的通常迭代的奇偶矢量为 
任意截取前k个 ，把 用0,1任意代替，后面不变可产生  个不同的矢量，即存在 个不同整数与n同路，当然也是高为 的整数。而这些数至多在二进制幅度为k-1阶的区域内，由于n通常迭代的轨迹序列T(n) = (C0(n), C1(n), C2(n), C3(n),……)是螺旋式上升的，所以每下降一次所包含区域内的整数的密度至少增加一倍，如起无限下去，直至密度》=1，这样就于Terras 定理 即对于几乎所有的正整数 N , 高G(N) 有限.相矛盾！  故不存在高为 的整数n。