对数形式的函数中参数范围的探究

何俊辉

（新建县第二中学，江西  南昌  330100）  

摘  要：对数函数是高考的一个重点考查的函数，对数形式的函数中的参数的范围的求法，是很多学生的疑点及难点。本文通过实例对这些问题进行探讨。

关键词：高中数学；对数函数；参数

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

对数函数是高中教学中的一个初等函数，是高考的一个重点考查的函数，对于对数形式的函数中的参数的范围的求法，是很多学生的疑点及难点，遇到此类问题学生都无以下手，且有些资料对这个函数中的参数也常常出现错误．

本人通过数学实践，特对这些问题进行研究和探讨，现以这次期末考试中的一考题：“已知函数 的值域为R，求实数 的取值范围”进行了拓展。

题目：对于对数函数 解答下述参数问题

（1）若函数的定义域为R，求实数 的取值范围．

（2）若函数的值域为R，求函数 的取值范围．

（3）若函数在 为有意义，求实数的取值范围．

（4）若函数的值域为 ，求 的取值范围．

（5）若函数的定义域为Q，已知集合 且 ，求实数 的取值范围．

（6）若 在 内有零点，求实数 的取值范围．

（7）若函数 在 为增函数，求实数 的取值范围．

解：设
（1） 时 恒成立， ，即
      的取值范围为 ．

（2）这是一个较难理解的问题：从： 的值域为R这一点思考 的值域为R，等价于 的函数值能取到 的一切值，理解为： 的值域包含区间 ．

   即  
当 时 为一次函数，显然成立，  此时 的取值范围为 ．

（3）应注意在 内有意义与定义域的扩展含义是不同的，

命题等价于： 对 恒成立．

    或    即   或
或 此时 的取值范围为 ．

（4）值域为 则
        
此时 的取值范围为 ．

（5）问题可转化为 在 内有解，从而得
在 内有解， 令
当 时，   此时 的取值范围为 ．

（6）方程 在 内有解，则 在 内有解

，当 时
在 内有解， 的取值范围为 ．

（7） 在 为增函数，根据复合函数的单调性可知

在 为增函数   必须包含于函数的定义域中

所以此时 的取值范围为 ．

从以上几个问题的解决说明，对数式的函数中参数的求法是一个较为复杂的问题，根据不同的条件，选择适当的转比方法求解，要解决此类问题必须对对数函数的概念有很深刻的理解和体会，才能灵活运用知识作出准确的解答，并要在学习过程中不断的总结规律．