浅谈二次函数在高中阶段的应用

朱有祥

（南京江宁中等专业学校，江苏  南京  211100）

摘  要：初中课本中关于函数的论述是比较浅的，特别二次函数，只是定性地给出一些结论。进入高中后，函数的概念更加严格，二次函数也以多种形态出现，怎样透彻的理解二次函数是学好数学的关键。

关键词：函数的概念；二次函数；应用

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax²+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax²+ bx+c(a≠0)这里ax²+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知ƒ(x)= 2x²+x+2，求ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x²－4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x²－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x²－4x+1=(x+1)²－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x²－6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

    令t=x+1，则x=t-1  ∴(t)=(t-1)²－4(t-1)+1=t²－6t+6从而ƒ(x)= x²－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax²+bx+c在区间（－∞，－]及[－，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x²+2|x－1|－1
（2）y=|x²－1|
（3）= x²+2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设ƒ(x)=x²－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：ƒ(x)=x²－2x－1=(x－1)²－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

当t＞1时，g(t)=ƒ(t)=t²－2t－1

当t＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t²－2

           t²－2, (t<0)

   g(t)=  -2，(0≤t≤1)

          t²－2t－1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x²－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax²+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根x₁，x₂满足0<x₁<x₂<。

(Ⅰ)当X∈(0,x₁)时，证明X<ƒ(x)<x₁。

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x₀对称，证明x₀< 。

解题思路：

本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x₁和x₀<  ，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ(x)－x=0可变为ax²+(b－1)x+1=0，它的两根为x₁,x₂，可得到x₁,x₂与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：                                                                                                                                  

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x₁,x₂是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax²+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x₁)(x－x₂)

因为0<x₁<x₂,所以,当x∈(0,x₁)时, x－x₁<0, x－x₂<0得（x－x₁）（x－x₂）>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x)

根据韦达定理,有  x₁x₂=    ∵ 0＜x₁＜x₂<，c=ax₁x₂<x=ƒ(x₁),      又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x₁), 根据二次函数的性质，曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=ƒ(x)在闭区间[0，x₁]上的最大值在边界点x=0或x=x₁处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ(x₁)>ƒ(0)，所以当x∈(0,x₁)时ƒ(x)<ƒ(x₁)=x_1，

即x<ƒ(x)<x₁

函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=－ ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x₀=－，因为x₁,x₂是二次方程ax²+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x₁+x₂=－，∵x₂－<0，

∴x₀=－=（x₁+x₂－）<,即x₀=。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。