RMI原则在中学数学中的应用

中学数学中的“化归”是RMI原则的表现形式，RMI原则是在数学中常用的思想，即“关系、映射、反演”原则。说明如下：

令 表示一组原象的关系结构，包括待定原象 。 表示一种映射，假定 被映成映象关系结构 ，其中包含未知原象 的映象 。确定 ，则通过逆映射 确定其它内容。

工程技术用此原则会选映射 确定 ，通过反演寻找目标对象 。本文从数学角度研究RMI原则的应用。

我国当代数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》中陈述了这一原理：给定一个含有目标原象 的关系结构系统 ，如果能找到一个可定映映射 ，将 映入 ，则从 通过一定的数学方法把目标映象 确定出来。

步骤为：关系——映射——定映——反演——得解。相关概念如下：数学对象：表述为数学概念的个体。如：数、量、数烈、向量、变数、函数等。

关系结构：数学对象的集合，数学关系指数学对象间确切定义的关系。

映射：在两个数学集合的元素间建立一种“对应关系”，就是一个映射。

定义阐述： 使一个映射，把集合 中的元素映入集合 ， 表示 的映象， 是原象，可记作：

若 是一个关系结构， 能将 映满 ，则 ， 为映象关系结构。若 中包含一个位置性状的对象 ，则 为目标原象，在映射 的作用下， 成为目标映象。

函数法、换元法、参数法、构造法等都属于RMI原则的表现形态。下面我们具体看集中表现形态：

（一）变量待换：是一种简单的RMI原则过程，在讨论变量 时，可用 得到新变量 ，用 代回，得到原来欲求结果。 就是一个映射，整个变量代换过程就是RMI的应用。开方、乘方时可以运用对数。

例：计算： 的数值。

原象关系 ；映象关系

当 有实数赋值时，可以通过查对数表来计算。在这个例子中，先求映象。

函数中的换元法将函数的“自变量”代之以一个中间变量，找出对应关系，得出函数表达式。

（二）用解析几何法解决几何问题时的遵循RMI原则，通过坐标系，映射 映入一对实数 ，将曲线映为方程，两曲线交点为联立方程的解。

（三）化归：通过对原问题的转换，使问题向所要求的方向转化。

下面我们就看化归是如何应用RMI原则的。

例：已知： ，且

求 的值。

分析：该方程组无法用常规的方法解，设法将其具体化联想到勾股定理。

问题就转化为如图： 中： ，  ，

内有一点 ,相应 可用余弦定理表示

（1）+（2）+（3）得：

则

这是一个将抽象化归的例子，其中有数形结合的思想。

（四）构造法：通过构造题目本身所没有的解题中介工具去解题。下面通过实例看构造法是如何渗透RMI原则的。

（五）复数法：前面我们提过复数法也是RMI原则的一种应用。RMI原则的映射使原象变成复数。

（六）初等几何变换的实质是有一个集合 到另一个集合 的双射，欧氏几何研究的是在这一双射下的图形 到 的不变量和不变性质。

徐利治先生在《数学方法论选讲》如此表述RMI原则：对目标原象的原象结构 ，先找到一个可定映映射 ，同时考虑到 的逆映射 具有合乎问题需要的能行性。

RMI原则的思想体现了数学的抽象性。它寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“简单、容易”的映射，在新的领域中，使问题得到解决，再“反演”回原来的领域中去，提高解决问题的能力，强化“数学细胞”,减少在解决数学问题的盲目性。