浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用

李  曼

（宿州市宿州学院附属实验中学，安徽  宿州  234000）

摘  要：数形结合思想是高中数学的一种基本思想，它具备直观、形象、简捷等诸多优点。数缺形时少直观，形少数时难入微。”通过数形的相互转化，将几何问题用代数的方法处理、或者通过几何图形来解决代数问题，不仅能够对高中生的数学知识进行整合，还能够增强对他们的创新性思维的培养。

关键词：数形结合；高中数学；教学效率

中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

利用和“数”的精确性和“形”的直观性相结合往往可以化解解题难点，将复杂的图形问题转化为简捷的数量问题，即使问题由复杂变得简单、抽象变得具体，进而便于学生们的接收和理解。由此可见，数形结合思想具备强大的功能，能够在高中数学解题中扮演重要的角色。本文首先对数形结合的思想进行了略要的概述，进而结合一些实例详细地阐述了数形结合思想在高中数学解题中的应用。

一、数形结合思想的含义理解

“数”是抽象的、感知的，体现的是数量关系；而“形”直观的、思维的，体现的是空间形式。“数”和“形”这两者在现实的世界里是不可分分割的，而在高中数学中，这两个基本概念构成了基石。当前，高中数学的研究对象正是现实世界的数量关系和空间形式，它的发展也是围绕“数”和“形”这两个概念的提炼、演变、发展而发展的。由于两者内容上存在着相互联系，方法上也存在着相互渗透，因而两者能够在一定条件下相互转化。

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用实例

（一）数形结合思想在集合中的应用

集合是高中数学的基本知识，是学习高中数学其它知识的基础。集合这一知识点无论是在交集、并集、补集等诸多内在关系上，还是在它的外在表达式上，都蕴含了图形的意味。这也在某种程度上体现了高中数学理念和初中数学的不同。

实例1 假设有两个集合分别为M＝{(x，y)|x²+y²＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x²-y＝0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ）

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4

答案：B

分析：通常，假如采用单纯的数量关系的解法一般过程如下。将两个方程x²+y²＝1，x²－y＝0进行联立形成一个方程组，解之将会得到x⁴+x²-1=0，尽管这样可以解出x的值，从而可以再推出y的值，但是这样耗费的时间比较多。

倘若我们采用数形结合的方式，问题便可以迎刃而解。通过仔细观察和比对，可以得出方程x²+y²＝1可以表示圆，方程x²－y＝0代表的是抛物线，那么实例1中的问题可以转化为方程x²+y²＝1所代表的圆和方程x²－y＝0表示的抛物线交点个数是多少。这样就避免的繁琐的数量关系的运算，通过绘图明显可以看出交点有2个。即M和N这两个集合的交集就有2个元素，答案为B。

（二）数形结合思想在函数中的应用

函数是高中数学的重要内容，几乎贯穿整个高中数学的教材，函数的内容涉及范围广、具备较高的抽象性和理论性，学生学习的难度比较大。但是函数不仅具备相应的表达式，还有匹配的图像。利用图形，往往能够解决单纯依靠数学计算无法解决的问题。这就在一定程度上为函数的学习带来了便利。

实例1 方程sin 2x=sin x在区间x∈（0，2π）内的解的个数是多少（）

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4

答案：C

分析：此题单纯地用数学计算方法解决的步骤为，sin 2x =2 sin x cos x=sin x，则有2 cos x=1，再加上x∈（0，2π），因此有三个解。这样虽然可以得到正确结果，但是需要逐步计算，对于马虎的学生很可能会遗漏结果，选择错误的答案。

假如我们从另一方面去分析，不采用逐步的计算方法，先将两个三角函数的图形在同一个坐标系内分别绘出。而且方程f(x)=g(x)的问题可以归结为两个函数y=f(x)与y=g(x)的交点横坐标，这对于求方程近似解时是特别重要的，所以应该引起足够的重视。通过仔细观察两个三角函数的图像可以发现交点有三个，即方程sin 2x=sin x在(0，2π)内有三个解。

实例2 0.3²，log2^0.3，2^0.3这三个数之间的大小顺序是（ ）

A.0.3²<2^0.3<log2^0.3

B.0.3²<log2^0.3<2^0.3

C.log2^0.3<0.3²<2^0.3

D.log2^0.3<2^0.3<0.3²

答案：C

分析：该题如果要计算的话，只有可以计算出0.3²的值，后面两项log2^0.3，2^0.3的数值根本计算不出来。直接比较根本行不通，这时只要在同一坐标系中先绘制出y=x²，y=log2^x，y=2^x的图像，然后将x的值定为x=0.3时，便可以直观地观察到有log2^0.3<0.3²<2^0.3，因而答案选C。

（三）数形结合思想在不等式中的应用

不等式也是高中数学的重要知识点，它和等式的一样重要。它对于高中生的数学能力培养起到关键作用，等式只是不等式的一种特殊情况。现实当中数学问题大多数是不等式。

实例1：求不等式log_a (x+1) > log_a (x-1) (0<a<1)的解集。

答案：x>1.414

分析：可以引入2个函数，分别假设f(x)=log_a (x+1)，y(x)=log_a (x-1)。然后令f(x)=g(x)，解得x=1.414，最后在直角坐标系中分别绘出f(x)=log_a (x+1)，y(x)=log_a (x-1)的图像，可以得到原不等式的解为x>1.414。

（四）数形结合思想在立体几何中的应用

以上的问题和例子都是将单纯的数学计算问题转化为图形来解决的，而在对立体几何问题处理上却恰恰是相反的。由于许多立体几何问题立体感较强，对空间想象能力要求较高，所以单纯地采用图形的方式来解决往往难度比较大。这就需要将其转为数量关系的问题，才能够是问题简单化。比如将复杂的几何逻辑推理转变为对空间向量的坐标运算，就可以化繁为简、化难为易，取得不错的效果。

综上所述，“数”和“形”是紧密相连的整体。只有将“数”和“形”充分结合起来，让其完全渗入到高中数学解题的过程中去，才能够切实提升高中生的数学解题能力。

参考文献：

[1]邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用[J].河北理科教学研究,2005,(03).