高中阶段利用基本不等式求最值的常见技巧

刘  岩
(深圳市龙岗区平冈中学，广东  深圳  518100)
摘  要：在高中数学必修五（苏教版）上介绍基本不等式虽然只用了一节内容，但是作为高中介绍的唯一一个不等式可想而知基本不等式在高中的地位是很重要的，在高考中也是重点和难点，并且变化和方法都是多样的。其中最常见的题型是利用基本不等式求最值，在此我们针对高中阶段出现的一些基本不等式求最值问题的一些解题技巧做一个简要的归纳总结。
关键词：高中阶段；基本不等式；最值；常见技巧
中图分类号：G633    文献标识码：A        文章编号：

技巧一：凑
凑项：例1：已知 ，求函数 的最大值。（苏教版必修5，P88例2）
解：  ， 
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
凑系数：例2. 当 时，求 的最大值。
解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
 
当 ，即 时取等号  ，因此当 时， 的最大值为 。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
技巧二： 拆
例3. 求 的值域。
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
 
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧三：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
 
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧四：整体代换
例4：已知 ，且 求 的最小值。（苏教版必修5，P94复习题13）
解： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 的最小值为 。
错解：  ，且 ，    故   。
错因：解法中两次连用基本不等式，在 等号成立条件是 ，在 等号成立条件是 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
技巧五：利用单调性
例5：求函数 的值域。（苏教版必修5，P91 习题3.4  3（2）变形）
解：令 ，则 
因 ，但 解得 不在区间 内，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
注：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。
技巧六：解
例6：已知a，b为正实数，ab＝a+b+3，求函数y＝a+b的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解：二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：由题得
由a＞0得， b>1
令t＝b-1， t>0，a+b＝
∴ a+b 6      ∴ y≥ 6当且仅当t＝2，即b＝3，a＝3时，等号成立,即 。
法二：∵ a＋b≥2        ∴      即
令u＝a＋b(u>0)         则u2-4u－12 0，           ∴
回顾与思考通过对高中书本上以及一些常见题目，我们发现通过利用基本不等式求最值时，重点是要让学生明白使用基本不等式的三个条件：一正、二定、三相等，但是如果第三个条件不满足，则考虑单调性求值域，同时还要注意一些变形技巧，构造可以使用基本不等式的有利条件。
参考文献：
[1]单墫.普通高中数学教科书.数学5(必修)[Ｍ].南京:江苏教育出版社,2007.
[2]赵宝峰.用不等式求最值的常用方法[Ｍ].太原:山西出版集团,2012.